Dada a função
determine os intervalos de decrescimento;
Passo 1
A função é dada em três pedaços, e a gente quer saber onde ela decresce. Isso é conteúdo de monotonicidade: se numa região a derivada é negativa, ou seja, f’(x)<0, então a função é estritamente decrescente ali.
Passo 2
Para aplicar isso, primeiro vamos obter a derivada em cada ramo. Se f é diferenciável em cada parte, temos:
Passo 3
Agora resolvemos a inequação f’(x)<0 em cada ramo:
- No primeiro ramo: 2x<0 ⇒ x<0. Como o domínio desse ramo já é x<0, concluímos que em todo (-∞,0) a derivada é negativa.
- No segundo ramo: -2x<0 ⇒ x>0. O domínio desse ramo é 0≤x<√2, então para 0<x<√2 a derivada é negativa (em x=0, f’(0)=0, mas isso não quebra a monotonicidade).
- No terceiro ramo: 1<0 é impossível, então não há decrescimento para x>√2.
Passo 4
Juntando esses resultados, vemos que f’(x)<0 exatamente quando x está em (-∞,0) ou em (0,√2). Assim, os intervalos de decrescimento são
Passo 5
Como em x=0 a derivada é zero mas a função continua decrescendo de um lado pro outro, podemos ainda enxergar que f é decrescente em todo o intervalo (-∞,√2). Porém, de acordo com os sinais de f’ em cada ramo, fica mais preciso dizer que ela é estritamente decrescente em (-∞,0) ∪ (0,√2).
Resposta
(-∞,0) ∪ (0,√2)