Dada a função
f(x)=l x^2+2 se x<0 2-x^2 se 0 <= x
determine os intervalos de decrescimento;

Passo 1

A função é dada em três pedaços, e a gente quer saber onde ela decresce. Isso é conteúdo de monotonicidade: se numa região a derivada é negativa, ou seja, f’(x)<0, então a função é estritamente decrescente ali.

Passo 2

Para aplicar isso, primeiro vamos obter a derivada em cada ramo. Se f é diferenciável em cada parte, temos:
f'(x)= 2x, & x<0, -2x, & 0raiz2

Passo 3

Agora resolvemos a inequação f’(x)<0 em cada ramo:
  • No primeiro ramo: 2x<0 ⇒ x<0. Como o domínio desse ramo já é x<0, concluímos que em todo (-∞,0) a derivada é negativa.
  • No segundo ramo: -2x<0 ⇒ x>0. O domínio desse ramo é 0≤x<√2, então para 0<x<√2 a derivada é negativa (em x=0, f’(0)=0, mas isso não quebra a monotonicidade).
  • No terceiro ramo: 1<0 é impossível, então não há decrescimento para x>√2.

Passo 4

Juntando esses resultados, vemos que f’(x)<0 exatamente quando x está em (-∞,0) ou em (0,√2). Assim, os intervalos de decrescimento são

Passo 5

Como em x=0 a derivada é zero mas a função continua decrescendo de um lado pro outro, podemos ainda enxergar que f é decrescente em todo o intervalo (-∞,√2). Porém, de acordo com os sinais de f’ em cada ramo, fica mais preciso dizer que ela é estritamente decrescente em (-∞,0) ∪ (0,√2).

Resposta

(-∞,0) ∪ (0,√2)

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