Dada a sequência (r^n)n in N, mostre que
a sequência tem limite se -1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por para todo número natural . O enunciado pede para mostrar que essa sequência tem um limite quando . Isso envolve conceitos de limites de sequências e propriedades de potências. Vamos precisar entender como o comportamento de muda conforme está entre -1 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma sequência. Dizemos que a sequência tem limite se, à medida que cresce, os termos se aproximam cada vez mais de . Ou seja, para qualquer pequena margem de erro , existe um número tal que para todo , a diferença entre e é menor que .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando . Sabemos que, se o valor absoluto de é menor que 1, ou seja, , então tende a zero conforme aumenta. Isso acontece porque multiplicar um número com valor absoluto menor que 1 continuamente o aproxima de zero.

Passo 4

No caso específico em que , temos para qualquer . Portanto, a sequência é constante e seu limite é 1.

Passo 5

Para formalizar, podemos usar a propriedade de limites das potências. Se limn to infty r^n = 0 , então:
limn to infty 1^n = 1
E se :
Como engloba ambos os casos (quando e ), concluímos que a sequência sempre terá um limite dentro desse intervalo.

Resposta

A sequência tem limite se e limite se . Portanto, ela possui um limite para todo .

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