Dada a sequência
, mostre que
a sequência tem limite se
;
a sequência tem limite se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
para todo número natural
. O enunciado pede para mostrar que essa sequência tem um limite quando
. Isso envolve conceitos de limites de sequências e propriedades de potências. Vamos precisar entender como o comportamento de
muda conforme
está entre -1 e 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma sequência. Dizemos que a sequência
tem limite
se, à medida que
cresce, os termos
se aproximam cada vez mais de
. Ou seja, para qualquer pequena margem de erro
, existe um número
tal que para todo
, a diferença entre
e
é menor que
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
. Sabemos que, se o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja,
, então
tende a zero conforme
aumenta. Isso acontece porque multiplicar um número com valor absoluto menor que 1 continuamente o aproxima de zero.
Passo 4
No caso específico em que
, temos
para qualquer
. Portanto, a sequência é constante e seu limite é 1.
Passo 5
Para formalizar, podemos usar a propriedade de limites das potências. Se
, então:
E se
:
Como
engloba ambos os casos (quando
e
), concluímos que a sequência
sempre terá um limite dentro desse intervalo.
Resposta
A sequência
tem limite
se
e limite
se
. Portanto, ela possui um limite para todo
.