Dada a sequência
, mostre que
a sequência não tem limite para todos os outros valores de
.
a sequência não tem limite para todos os outros valores de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma sequência do tipo
, onde
é um número real e
é um número natural. O objetivo aqui é mostrar que essa sequência não tem limite quando escolhemos qualquer valor de
, exceto alguns casos especiais que talvez você já conheça. Vamos precisar entender um pouquinho sobre limites de sequências e como o valor de
influencia o comportamento dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ter um limite. Dizemos que a sequência
converge para um número
se, à medida que
cresce, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
. Se isso não acontece, a sequência não tem limite.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência
. Dependendo do valor de
, o comportamento dessa sequência pode mudar bastante. Vamos ver alguns casos:
-
Quando
: Nesse caso, cada termo da sequência fica menor, já que estamos elevando um número menor que 1 a potências maiores. Por exemplo, se , temos , , , e assim por diante. Esses valores estão se aproximando de 0. Então, a sequência converge para 0. -
Quando
: Aqui, todos os termos da sequência são iguais a 1, ou seja, para qualquer . Assim, a sequência converge para 1. -
Quando
: Nesse caso, cada termo da sequência fica maior, pois estamos elevando um número maior que 1 a potências maiores. Por exemplo, se , temos , , , e assim por diante. Esses valores crescem sem limite, ou seja, a sequência não tem um limite finito. -
Quando
: Aqui, os termos da sequência alternam entre 1 e -1: , , , etc. Como os termos não se aproximam de nenhum número específico, a sequência não tem limite. -
Quando
e : Se for um número real com módulo igual a 1, mas diferente de 1 (por exemplo, ), os termos da sequência vão oscilar sem se aproximar de um único valor. Portanto, a sequência não tem limite.
Passo 4
Agora, juntando tudo isso, podemos concluir que a sequência
só tem limite em dois casos especiais:
- Quando
, convergindo para 0. - Quando
, permanecendo sempre igual a 1.
Para todos os outros valores de
, a sequência não tem um limite finito. Isso inclui valores onde
,
, e qualquer outro número onde o módulo de
é igual a 1, mas diferente de 1.
Resposta
Portanto, a sequência
não tem limite para todos os valores de
exceto quando
, onde converge para 0, e quando
, onde permanece igual a 1.