Dada a sequência (r^n)n in N, mostre que
a sequência não tem limite para todos os outros valores de r.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma sequência do tipo (r^n)n in N, onde r é um número real e n é um número natural. O objetivo aqui é mostrar que essa sequência não tem limite quando escolhemos qualquer valor de r, exceto alguns casos especiais que talvez você já conheça. Vamos precisar entender um pouquinho sobre limites de sequências e como o valor de r influencia o comportamento dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ter um limite. Dizemos que a sequência (an) converge para um número L se, à medida que n cresce, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de L. Se isso não acontece, a sequência não tem limite.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência (r^n). Dependendo do valor de r, o comportamento dessa sequência pode mudar bastante. Vamos ver alguns casos:
  1. Quando |r| < 1: Nesse caso, cada termo da sequência fica menor, já que estamos elevando um número menor que 1 a potências maiores. Por exemplo, se r = 0,5, temos 0,5^1 = 0,5, 0,5^2 = 0,25, 0,5^3 = 0,125, e assim por diante. Esses valores estão se aproximando de 0. Então, a sequência converge para 0.
  2. Quando r = 1: Aqui, todos os termos da sequência são iguais a 1, ou seja, 1^n = 1 para qualquer n. Assim, a sequência converge para 1.
  3. Quando |r| > 1: Nesse caso, cada termo da sequência fica maior, pois estamos elevando um número maior que 1 a potências maiores. Por exemplo, se r = 2, temos 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, e assim por diante. Esses valores crescem sem limite, ou seja, a sequência não tem um limite finito.
  4. Quando r = -1: Aqui, os termos da sequência alternam entre 1 e -1: (-1)^1 = -1, (-1)^2 = 1, (-1)^3 = -1, etc. Como os termos não se aproximam de nenhum número específico, a sequência não tem limite.
  5. Quando |r| = 1 e r neq 1: Se r for um número real com módulo igual a 1, mas diferente de 1 (por exemplo, r = -1), os termos da sequência vão oscilar sem se aproximar de um único valor. Portanto, a sequência não tem limite.

Passo 4

Agora, juntando tudo isso, podemos concluir que a sequência (r^n) só tem limite em dois casos especiais:
  • Quando |r| < 1, convergindo para 0.
  • Quando r = 1, permanecendo sempre igual a 1.
Para todos os outros valores de r, a sequência não tem um limite finito. Isso inclui valores onde |r| > 1, r = -1, e qualquer outro número onde o módulo de r é igual a 1, mas diferente de 1.

Resposta

Portanto, a sequência (r^n)n in N não tem limite para todos os valores de r exceto quando |r| < 1, onde converge para 0, e quando r = 1, onde permanece igual a 1.

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