Dada a função
f(x)=l x^2+2 se x<0 2-x^2 se 0 <= x
faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

A questão pede pra desenhar o gráfico de uma função por partes. O conteúdo aqui é curvas elementares (parábolas e reta) e a ideia é entender cada parte no seu domínio, achar os valores nas fronteiras (x=0 e x=√2) e marcar pontos abertos ou fechados antes de juntar tudo.

Passo 2

Vamos separar em três ramos: (i) para x<0 temos f(x)=x^2+2; (ii) para 0≤x<√2 temos f(x)=2−x^2; (iii) para x≥√2 temos f(x)=x−√2.

Passo 3

Para x<0: f(x)=x^2+2 é uma parábola voltada pra cima, cujo vértice é em (0,2). Mas como o domínio é x<0, pegamos só o ramo à esquerda de x=0. Em x→0−, f→2 e esse ponto (0,2) fica aberto.

Passo 4

Para 0≤x<√2: f(x)=2−x^2 é uma parábola voltada pra baixo, com vértice em x=0 no valor 2. No extremo x=√2−, f(√2−)=2−(√2)^2=0 e esse ponto em (√2,0) fica aberto. Em x=0 incluímos o ponto (0,2) fechado.

Passo 5

Para x≥√2: f(x)=x−√2 é uma reta de inclinação 1. Em x=√2 temos f(√2)=0, ponto (√2,0) fechado. A reta segue pra x>√2 subindo linearmente.

Passo 6

Agora é só juntar: o ramo da parábola crescente pra x<0, conecta-se continuamente ao ramo decrescente de 0≤x<√2 (ponto (0,2) fechado), que desce até (√2,0) aberto, onde em seguida inicia a reta com ponto (√2,0) fechado e cresce pra direita.
O gráfico fica contínuo em x=0 e em x=√2. Marcamos em (0,2) um ponto fechado e em (√2,0) também, colocando os pontos abertos correspondentes no final de cada ramificação antes de mudar de expressão.

Resposta

O esboço é formado por:
  • Um ramo de parábola voltada pra cima (f(x)=x^2+2) para x<0, terminando em ponto aberto em (0,2).
  • Um ramo de parábola voltada pra baixo (f(x)=2−x^2) para 0≤x<√2, começando em (0,2) fechado e descendo até ponto aberto em (√2,0).
  • Uma reta de inclinação 1 (f(x)=x−√2) para x≥√2, começando em (√2,0) fechado e subindo pra direita.

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