Dada a função:
f(x)=l x, se x <= 1 2, se x>1
Mostre que não existe f^prime(1).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes: f(x)=x para x<=1 e f(x)=2 para x>1. Queremos verificar se existe f'(1), ou seja, se o limite do quociente incremental em x=1 existe e é finito. Vamos usar a definição de derivada por limites laterais.

Passo 2

A derivada de f em x=1 existe se, e somente se, as derivadas laterais forem iguais e finitas. A definição de derivada é
f'(1)=limxto1f(x)-f(1)x-1
mas isso exige que
f'-(1)=limxto1^-f(x)-f(1)x-1
e
f'+(1)=limxto1^+f(x)-f(1)x-1
existam e coincidam.

Passo 3

Para a derivada lateral pela esquerda usamos a parte f(x)=x quando x<=1. Sabendo que f(1)=1, temos
f'-(1)=limxto1^-x-1x-1=limxto1^-1=1
Aqui o limite existe e vale 1.

Passo 4

Para a derivada lateral pela direita usamos a parte f(x)=2 quando x>1. Novamente f(1)=1, então
f'+(1)=limxto1^+2-1x-1=limxto1^+1x-1
Como x-1to0^+, esse limite diverge para +infty e não é finito.

Passo 5

Como as derivadas laterais são diferentes ( f'-(1)=1 e f'+(1)=+infty), o limite que define f'(1) não existe. Portanto, não há derivada em x=1.

Resposta

Não existe f'(1), pois as derivadas laterais são diferentes ( f'-(1)=1 e f'+(1) diverge).

Exercícios relacionados