Dada a função:
Mostre que não existe
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes:
para
e
para
. Queremos verificar se existe
, ou seja, se o limite do quociente incremental em
existe e é finito. Vamos usar a definição de derivada por limites laterais.
Passo 2
A derivada de
em
existe se, e somente se, as derivadas laterais forem iguais e finitas. A definição de derivada é
mas isso exige que
e
existam e coincidam.
Passo 3
Para a derivada lateral pela esquerda usamos a parte
quando
. Sabendo que
, temos
Aqui o limite existe e vale
.
Passo 4
Para a derivada lateral pela direita usamos a parte
quando
. Novamente
, então
Como
, esse limite diverge para
e não é finito.
Passo 5
Como as derivadas laterais são diferentes (
e
), o limite que define
não existe. Portanto, não há derivada em
.
Resposta
Não existe
, pois as derivadas laterais são diferentes (
e
diverge).