Dada a função
f(x)=l (x+9)^2-8 se x<-7 -raiz25-(x+4)^2 se -7 <= x <= 0 (x-2)^2-7 se 0
determine os intervalos de decrescimento;

Passo 1

No enunciado, temos a função por partes
f(x)=(x+9)^2-8,&x<-7-raiz25-(x+4)^2,&-7<= x<=0(x-2)^2-7,&x>0
O conteúdo é derivadas e monotonicidade: vamos achar onde f'(x)<0 em cada ramo.

Passo 2

Para x<-7, f(x)=(x+9)^2-8. Derivando, f'(x)=2(x+9). A condição f'(x)<0 implica
2(x+9)<0implies x+9<0implies x<-9
Logo, neste ramo f decresce em .

Passo 3

Para -7<= x<=0, f(x)=-raiz25-(x+4)^2. Se definirmos g(x)=raiz25-(x+4)^2, temos
g'(x)=-(x+4)raiz25-(x+4)^2, f'(x)=-g'(x)=x+4raiz25-(x+4)^2
Portanto f'(x)<0 quando x+4<0, ou seja -7<= x< -4. Fica assim decrescente em [-7,-4).

Passo 4

Para x>0, f(x)=(x-2)^2-7. Derivando, f'(x)=2(x-2). Logo
f'(x)<0implies x-2<0implies 0
Nesse ramo, f decresce em (0,2).

Passo 5

Agora, reunindo os resultados dos três ramos, identificamos todos os intervalos onde f'(x)<0 e, portanto, onde f é decrescente.

Resposta

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