Dada a função
indique o comportamento da concavidade;
Passo 1
O enunciado apresenta a função por partes
0 f(x) e pede para determinar a concavidade em cada ramo, ou seja, verificar o sinal de f’’(x). Vamos usar derivadas e a regra da cadeia para cada trecho.
0 f(x) e pede para determinar a concavidade em cada ramo, ou seja, verificar o sinal de f’’(x). Vamos usar derivadas e a regra da cadeia para cada trecho.
Passo 2
Na primeira parte, x< -7, temos f(x) = (x+9)^2 - 8. Aplicando a derivada duas vezes:
- f’(x) = 2(x+9).
- f’’(x) = 2. Como f’’(x)>0, a concavidade é voltada para cima nesse intervalo.
Passo 3
Na segunda parte, -7 \le x \le 0, f(x) = -\sqrt{25-(x+4)^2}. Defina u = x+4 e v = \sqrt{25-u^2}, então f(x) = -v.
- v’ = \frac{-u}{\sqrt{25-u^2}} pela regra da cadeia.
- f’(x) = -v’ = \frac{u}{\sqrt{25-u^2}} = \frac{x+4}{\sqrt{25-(x+4)^2}}.
- Para f’’(x), use derivada de quociente:
Como o denominador \bigl(25-(x+4)2\bigr){3/2} é positivo em -7\le x\le0, temos f’’(x)>0. Logo, concavidade para cima.
Passo 4
Na terceira parte, x>0, f(x) = (x-2)^2 -7. De modo análogo ao primeiro caso:
- f’(x)=2(x-2).
- f’’(x)=2>0, indicando também concavidade para cima.
Passo 5
Portanto, em todos os três trechos a segunda derivada é positiva, o que significa que a função é côncava para cima em cada ramo.
A concavidade da função f é voltada para cima em todo o domínio dividido pelos pontos x=-7 e x=0.
A concavidade da função f é voltada para cima em todo o domínio dividido pelos pontos x=-7 e x=0.
Resposta
f é côncava para cima em todos os três intervalos: (-\infty,-7), [-7,0] e (0,\infty).