Dada a função f(x)=lllx^2-1, & se & x<1 raizx-1, & se & x >= 1.
Determine uma equação para a reta tangente no ponto P=(3, f(3)), caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo do valor de $ x $. Queremos encontrar a equação da reta tangente no ponto $ P = (3, f(3)) $. Isso envolve conceitos de derivadas para calcular a inclinação da reta tangente. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função e depois usar isso para achar a reta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o que é $ f(3) $. Como $ 3 \geq 1 $, usamos a segunda parte da função:
f(3)
Então, o ponto $ P $ é $ (3, \sqrt{2}) $.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de $ f(x) $ em $ x = 3 $ para encontrar a inclinação da reta tangente. A função é definida por partes, então vamos ver qual parte se aplica para $ x \geq 1 $:
f(x)

Passo 4

Vamos derivar $ f(x) = (x - 1)^{1/2} $. Usando a regra da potência, a derivada é:
f(x) = (x - 1)^1/2

Passo 5

Agora, substituímos $ x = 3 $ na derivada para encontrar a inclinação no ponto $ P $:
x = 3

Passo 6

Com a inclinação $ m = \frac{1}{2\sqrt{2}} $ e o ponto $ P = (3, \sqrt{2}) $, podemos usar a fórmula da reta tangente:
m = 12raiz2
Substituindo os valores:
P = (3, raiz2)

Resposta

A equação da reta tangente no ponto $ P = (3, \sqrt{2}) $ é:
P = (3, raiz2)
Ou simplificando:
y = 12raiz2,x + ( raiz2 - 32raiz2 )

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