Resolva as EDOs via série de Potências
4 x^2 y^prime prime+(1+4 x) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
4x^2y''+(1+4x)y=0
via série de potências (método de Frobenius) em torno de x=0. Vamos presumir que a solução tenha a forma
y(x)=sumn=0^infty anx^n+r,
onde r é o expoente inicial desconhecido e a0neq0.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas e substituir na EDO. Temos
y(x)=sumn=0^infty anx^n+r,
y''(x)=sumn=0^infty (n+r)(n+r-1)anx^n+r-2
Multiplicando por 4x^2 e somando (1+4x)y:
4x^2y''=4sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r,
(1+4x)y=sumn=0^infty anx^n+r+4sumn=0^infty anx^n+r+1

Passo 3

Agora alinhe todas as potências em x^n+r. Note que
4sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r+sumn=0^infty anx^n+r+4sumn=1^infty an-1x^n+r=0
Isso gera, para cada n>=1, a relação
[4(n+r)(n+r-1)+1]an+4an-1=0,
e para n=0 a condição indicial.

Passo 4

A equação indicial vem de n=0:
4r(r-1)+1=0
que se torna
4r^2-4r+1=0
A solução dessa quadrática é r=tfrac12 (raiz dupla).

Passo 5

Como r=tfrac12 é raiz dupla, usemos r=tfrac12 na recorrência:
$$a_n=-\frac{4a_{n-1}}{4(n+\tfrac12)(n-\tfrac12)+1}=-\frac{4a_{n-1}}{4n^2}= -\frac{a_{n-1}}{n^2}.
an=-4an-14(n+tfrac12)(n-tfrac12)+1=-4an-14n^2= -an-1n^2 çãa_n=\frac{(-1)n}{(n!)2}a_0.$$

Passo 6

A primeira solução é
$$y_1(x)=a_0x{1/2}\sum_{n=0}\infty\frac{(-1)n}{(n!)2}x^n.
y1(x)=a0x^1/2sumn=0^infty(-1)^n(n!)^2x^n éçãy_2(x)=y_1(x)\ln x+ x{1/2}\sum_{n=1}\infty\frac{(-1){n-1}2H_n}{(n!)2}x^n,
$$
onde ln x é o número harmônico.

Passo 7

Então a solução geral da EDO é combinação linear de y1 e y2:
$$y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x).
$$

Resposta

y(x)=C1x^1/2sumn=0^infty(-1)^n(n!)^2x^n+C2l[x^1/2sumn=0^infty(-1)^n(n!)^2x^nln x+ x^1/2sumn=1^infty(-1)^n-12Hn(n!)^2x^nr]

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