Resolva as EDOs via série de Potências
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
via série de potências (método de Frobenius) em torno de
onde
é o expoente inicial desconhecido e
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas e substituir na EDO. Temos
Multiplicando por
Passo 3
Agora alinhe todas as potências em
. Note que
Isso gera, para cada
e para
a condição indicial.
Passo 4
A equação indicial vem de
:
que se torna
A solução dessa quadrática é
(raiz dupla).
Passo 5
Como
é raiz dupla, usemos
na recorrência:
$$a_n=-\frac{4a_{n-1}}{4(n+\tfrac12)(n-\tfrac12)+1}=-\frac{4a_{n-1}}{4n^2}= -\frac{a_{n-1}}{n^2}.
Passo 6
A primeira solução é
$$y_1(x)=a_0x{1/2}\sum_{n=0}\infty\frac{(-1)n}{(n!)2}x^n.
$$
onde é o número harmônico.
onde
Passo 7
Então a solução geral da EDO é combinação linear de
e
:
$$y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x).
$$