Dada a função f(x)=lllx^2-1, & se & x<1 raizx-1, & se & x >= 1.
f é contínua em x=1? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $. A matéria aqui é continuidade de funções, e para isso precisamos entender os limites laterais da função nesse ponto e comparar com o valor da função em $ x = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, $ x < 1 $. A expressão da função para $ x < 1 $ é $ f(x) = x^2 - 1 $.

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (x^2 - 1) = (1)^2 - 1 = 0
Então, o limite pela esquerda é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita, ou seja, $ x \geq 1 $. A expressão da função para $ x \geq 1 $ é $ f(x) = \sqrt{x - 1} $.

Passo 5

Calculando o limite pela direita:
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ raizx - 1 = raiz1 - 1 = 0
Então, o limite pela direita também é 0.

Passo 6

Agora, vamos verificar o valor da função em $ x = 1 $. Como $ x = 1 $ está na condição $ x \geq 1 $, usamos $ f(1) = \sqrt{1 - 1} = 0 $.

Passo 7

Finalmente, comparamos os limites laterais e o valor da função:
limx to 1^- f(x) = 0, limx to 1^+ f(x) = 0, f(1) = 0
Como todos são iguais, a função é contínua em $ x = 1 $.

Resposta

Sim, a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $ porque os limites laterais e o valor da função no ponto são iguais a 0.

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