Dada a função
.
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $. A matéria aqui é continuidade de funções, e para isso precisamos entender os limites laterais da função nesse ponto e comparar com o valor da função em $ x = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, $ x < 1 $. A expressão da função para $ x < 1 $ é $ f(x) = x^2 - 1 $.
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda:
Então, o limite pela esquerda é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita, ou seja, $ x \geq 1 $. A expressão da função para $ x \geq 1 $ é $ f(x) = \sqrt{x - 1} $.
Passo 5
Calculando o limite pela direita:
Então, o limite pela direita também é 0.
Passo 6
Agora, vamos verificar o valor da função em $ x = 1 $. Como $ x = 1 $ está na condição $ x \geq 1 $, usamos $ f(1) = \sqrt{1 - 1} = 0 $.
Passo 7
Finalmente, comparamos os limites laterais e o valor da função:
Como todos são iguais, a função é contínua em $ x = 1 $.
Resposta
Sim, a função $ f(x) $ é contínua em $ x = 1 $ porque os limites laterais e o valor da função no ponto são iguais a 0.