1. (a) Dada a função f(x)=lx^3, se x <= 1, m x+b, se x>1, estabeleça uma relação entre b e m que a torne contínua em x=1.
    (b) Encontre os valores de b e m que tornem f derivável em R.
    (c) Determine, depois, f^prime(x).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^3, & x<=1, m,x+b, & x>1,
e pede (a) a relação entre b e m para continuidade em x=1, (b) os valores de b e m para que f seja derivável em R e (c) a expressão de f'(x). Vamos usar conceitos de limite para continuidade e igualdade de derivadas laterais para diferenciabilidade.

Passo 2

Para continuidade em x=1 precisamos de
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)
O lado esquerdo é limxto1^-x^3=1. O direito é limxto1^+(m,x+b)=mcdot1+b=m+b. Logo
m+b=1 Longrightarrow b=1-m

Passo 3

Para diferenciabilidade em x=1 devemos ter derivadas laterais iguais:
f'-(1)=f'+(1)
Calculando,
f'-(x)=3x^2 Longrightarrow f'-(1)=3cdot1^2=3,
f'+(x)=ddx(m,x+b)=m Longrightarrow f'+(1)=m
Igualando 3=m e usando b=1-m vem
m=3, b=1-3=-2

Passo 4

Com
e pela diferenciabilidade (f’(1)=3].

Resposta

(a) b=1-m.
(b) m=3 e b=-2.
(c)
f'(x)= 3x^2, & x<1, 3, & x>1, e f'(1)=3

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