Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
x^3 y^prime prime prime-3 x^2 y^prime prime+6 x y^prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^3y'''-3x^2y''+6xy'-6y=0
O método consiste em assumir uma solução do tipo y=x^m, obter a equação característica em m e, a partir das raízes m, construir a solução geral.

Passo 2

Assumimos
y=x^m
Então
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2, y'''=m(m-1)(m-2),x^m-3

Passo 3

Substituindo em x^3y'''-3x^2y''+6xy'-6y=0 temos
x^3cdot m(m-1)(m-2)x^m-3 -3x^2cdot m(m-1)x^m-2 +6xcdot m,x^m-1 -6x^m=0,
isto é
l[m(m-1)(m-2)-3m(m-1)+6m-6r]x^m=0

Passo 4

A equação característica em m é
m(m-1)(m-2)-3m(m-1)+6m-6=0
Expandindo,
m^3-3m^2+2m-3m^2+3m+6m-6 =m^3-6m^2+11m-6=0
Fatorando,
m^3-6m^2+11m-6=(m-1)(m-2)(m-3)=0,
logo as raízes são m=1,2,3, todas distintas.

Passo 5

Como as raízes da característica são distintas, a solução geral é
y=C1x^1+C2x^2+C3x^3,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy=C1x+C2x^2+C3x^3

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