Exercício 18. (Apostol seção 4.10 exercícios 4) Em cada um dos casos, mostre que as matrizes têm 3 autovetores linearmente indenpendentes, porém não possuem 3 autovalores distintos. Ache uma matriz tal que é diagonal.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A= 1 & -1 & -1 1 & 3 & 1 -1 & -1 & 1
e pede para mostrar que ela tem três autovetores linearmente independentes, embora seus autovalores não sejam todos distintos, e em seguida encontrar uma matriz C tal que
C^-1AC
seja diagonal. O conteúdo envolve cálculo de polinômio característico, autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de A. Calculamos
Isso define um espaço de dimensão 2. Podemos escolher dois autovetores independentes, por exemplo
Passo 5
Os vetores v1,v2,v3 são autovetores associados a lambda=1,2,2 e são linearmente independentes porque vêm de autovalores distintos ou de espaço próprio de dimensão 2. Logo A é diagonalizável. Basta montar