Exercício 18. (Apostol seção 4.10 exercícios 4) Em cada um dos casos, mostre que as matrizes têm 3 autovetores linearmente indenpendentes, porém não possuem 3 autovalores distintos. Ache uma matriz C tal que C^-1 A C é diagonal.
A=(ccc1 & -1 & -1 1 & 3 & 1 -1 & -1 & 1)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & -1 & -1 1 & 3 & 1 -1 & -1 & 1
e pede para mostrar que ela tem três autovetores linearmente independentes, embora seus autovalores não sejam todos distintos, e em seguida encontrar uma matriz C tal que
C^-1AC
seja diagonal. O conteúdo envolve cálculo de polinômio característico, autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A. Calculamos
det(A-lambda I) = 1-lambda & -1 & -1 1 & 3-lambda & 1 -1 & -1 & 1-lambda
Expandindo pela primeira linha, notamos que
(3-lambda)(1-lambda)-1cdot(-1) =(lambda-2)^2
e que os outros cofatores somam zero. Logo
det(A-lambda I) =(1-lambda),(lambda-2)^2
Assim os autovalores são
lambda=1(mu<iplicidade 1), lambda=2(mu<iplicidade 2)

Passo 3

Para resolvemos , ou seja
As equações reduzem-se a
de onde um autovetor não nulo é, por exemplo,

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Todas as linhas dizem a mesma coisa:
Isso define um espaço de dimensão 2. Podemos escolher dois autovetores independentes, por exemplo

Passo 5

Os vetores v1,v2,v3 são autovetores associados a lambda=1,2,2 e são linearmente independentes porque vêm de autovalores distintos ou de espaço próprio de dimensão 2. Logo A é diagonalizável. Basta montar
C=l[v1;v2;v3r] = 1 & 1 & 1 -1 & -1 & 0 1 & 0 & -1
Então por construção
C^-1AC = 1&0&0 0&2&0 0&0&2

Resposta

Uma escolha conveniente é
C= 1 & 1 & 1 -1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 ,
que satisfaz
C^-1AC =diag(1,2,2)

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