Exercício 19. (Apostol seção 4.10 exercícios 7) Ache os autovalores e autovetores da matriz A=(ccc0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & -3 & 3) e mostre que ela não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & -3 & 3
e mostrar que ela não é diagonalizável.
Conteúdo necessário: calcular o polinômio característico det(A - lambda I), fatorá-lo para obter os autovalores, resolver (A - lambda I)x = 0 para achar os autovetores e verificar a condição de diagonalizabilidade (geometria vs. álgebra das multiplicidades).

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico
p(lambda)=det(A - lambda I) =det -lambda & -1 & 0 0 & -lambda & 1 -1 & -3 & 3-lambda
Expandindo pela primeira linha,
p(lambda) =-lambdadet-lambda & 1 -3 & 3-lambda -(-1)det0 & 1 -1 & 3-lambda
Agora,
det-lambda & 1 -3 & 3-lambda =-lambda(3-lambda)-1cdot(-3) =lambda^2-3lambda+3,
det0 & 1 -1 & 3-lambda =0cdot(3-lambda)-1cdot(-1)=1
Logo
p(lambda) =-lambdal(lambda^2-3lambda+3r)+1 =-lambda^3+3lambda^2-3lambda+1

Passo 3

Reescrevendo com sinal invertido, vemos
p(lambda)=lambda^3-3lambda^2+3lambda-1=(lambda-1)^3
Portanto há um único autovalor
lambda=1
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 4

Agora achamos os autovetores resolvendo
Chamando
Da primeira equação . A terceira fica automaticamente satisfeita. Logo
ou seja o espaço próprio é
de dimensão .

Passo 5

O autovalor lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3 mas seu espaço próprio tem dimensão geométrica 1. Como a dimensão geométrica é menor que a algébrica, não há bases formadas por 3 autovetores, logo A não é diagonalizável.

Resposta

Autovalor: lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.
Espaço próprio:
E1=t(-1,1,1)^T: tinR
Como a multiplicidade geométrica ( 1) é menor que a algébrica ( 3), A não é diagonalizável.

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