Exercício 19. (Apostol seção 4.10 exercícios 7) Ache os autovalores e autovetores da matriz e mostre que ela não é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & -3 & 3
e mostrar que ela não é diagonalizável.
Conteúdo necessário: calcular o polinômio característico det(A - lambda I), fatorá-lo para obter os autovalores, resolver (A - lambda I)x = 0 para achar os autovetores e verificar a condição de diagonalizabilidade (geometria vs. álgebra das multiplicidades).
Da primeira equação . A terceira fica automaticamente satisfeita. Logo
ou seja o espaço próprio é
de dimensão .
Passo 5
O autovalor lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3 mas seu espaço próprio tem dimensão geométrica 1. Como a dimensão geométrica é menor que a algébrica, não há bases formadas por 3 autovetores, logo A não é diagonalizável.
Resposta
Autovalor: lambda=1 com multiplicidade algébrica 3.
Espaço próprio:
E1=t(-1,1,1)^T: tinR
Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (3), A não é diagonalizável.