Dada a função
f(x)= 2 e^-2 x, & x >= 0 0, & se x<0
Mostre que esta é uma f.d.p.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a função
f(x)= 2e^-2x,&x>=0, 0,&x<0
e precisa mostrar que isso é uma f.d.p. (função densidade de probabilidade).
Conteúdo: definimos função densidade de probabilidade como uma função que (1) é sempre não-negativa e (2) cuja integral sobre todo o eixo real vale 1. Para resolver, vamos usar propriedades de exponenciais e integração impropria.

Passo 2

Verificar não-negatividade:
  • Para f(x)=2,e^-2x>0 , , então está ok.
  • Para , temos para todo , logo
Portanto em todo .

Passo 3

Verificar integral total igual a 1:
Precisamos calcular
integral-infty^inftyf(x),dx =integral-infty^00,dx+integral0^infty2e^-2x,dx =integral0^infty2e^-2x,dx
Para resolver integral e^-2xdx=-tfrac12e^-2x+C , usamos a primitiva de integral0^infty2e^-2xdx =2l[-tfrac12e^-2xr]0^infty =l[-e^-2xr]0^infty =(0)-l(-e^0r) =1 :
Logo

Resposta

Sim! A função satisfaz e , logo é uma f.d.p. válida.

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