Dada a função
, onde
é comprimento, encontre a série de Fourier real desta função:
Passo 1
O enunciado dá a função por partes definida em
O que se pede: encontrar a série de Fourier real (série trigonométrica de período
.
Informações relevantes que temos:
- A função é dada por partes em todo o intervalo
. - Parâmetros
e são constantes (assumir ). - A série de Fourier real terá a forma com termos constantes, cossenos e senos com frequências
. - Nos pontos de descontinuidade (se houver), a série converge para a média dos limites laterais; isso pode ser útil para interpretação mas não altera os coeficientes.]
Passo 2
Vamos escrever a fórmula geral da série de Fourier real para uma função
definida em
. A série é
onde os coeficientes são dados por
Explicação curta das fórmulas (para lembrar na prova):
-
mede a média da função no intervalo . -
é o “projeção” de sobre a base . -
é a “projeção” de sobre a base .
Estas integrais exploram a ortogonalidade das funções seno e cosseno no intervalo.
Passo 3
Calcular
.
Como
para
e
para
, a integral em
reduz a integral em
:
Calcule a integral
. Substituindo:
Portanto o termo constante na série é
.
Passo 4
Calcular
.
Escrevemos
Para calcular a integral use integração por partes. Defina
Então precisamos de
. Aplicando integração por partes (tomando
,
, assim
,
):
Avalie de
a
:
Agora use
, de modo que
e
,
. Assim
Voltando para
:
Substituindo
obtém-se
Passo 5
Simplificar [a_n) por paridade de
.
Observe que
vale:
- se
é par: , logo para par; - se
é ímpar: , logo para ímpar
Portanto podemos escrever
é par},\[4pt] -\dfrac{2a}{n2\pi2} & se
é ímpar. \end{cases}]]
Passo 6
Calcular
.
Começamos com a definição
onde novamente
.
Calcule
por partes (tomando
,
, então
):
Avalie de
a
:
Usando
e
,
, obtemos
Substituindo em
:
Como
, tem-se
e então a expressão simplifica para
Portanto
Passo 7
Escrever a série de Fourier completa reunindo os coeficientes encontrados.
Recordando
,
e
, a série fica:
Opcionalmente, destacando que
vale zero para
par e
para
ímpar, pode-se escrever a soma dos cossenos apenas sobre índices ímpares:
Ambas as formas são equivalentes; a primeira mostra os coeficientes para todo
, a segunda realça a presença apenas de termos de cosseno ímpares.