Dada a função f(x), onde x é comprimento, encontre a série de Fourier real desta função:
f(x)=\left\{\begin{array}{lr} 0 & (-L \leq x<0) \\\ \frac{a}{L} x & (0<x<L) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes definida em [-L,L]\): \[f(x)=\begin{cases} 0 & (-L \le x < 0),\\[4pt] \dfrac{a}{L}\,x & (0<x<L). \end{cases}
O que se pede: encontrar a série de Fourier real (série trigonométrica de período 2L\]) que representa a extensão periódica de \(f(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função é dada por partes em todo o intervalo [-L,L].
  • Parâmetros a e L são constantes (assumir L>0).
  • A série de Fourier real terá a forma com termos constantes, cossenos e senos com frequências n\pi/L.
  • Nos pontos de descontinuidade (se houver), a série converge para a média dos limites laterais; isso pode ser útil para interpretação mas não altera os coeficientes.]

Passo 2

Vamos escrever a fórmula geral da série de Fourier real para uma função f definida em [-L,L]. A série é
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(a_n\cos\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)+b_n\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\bigg),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx.
Explicação curta das fórmulas (para lembrar na prova):
  • a_0 mede a média da função no intervalo [-L,L].
  • a_n é o “projeção” de f sobre a base \cos(n\pi x/L).
  • b_n é a “projeção” de f sobre a base \sin(n\pi x/L).
    Estas integrais exploram a ortogonalidade das funções seno e cosseno no intervalo [-L,L].

Passo 3

Calcular a_0.
Como f(x)=0 para -L\le x<0 e f(x)=\dfrac{a}{L}x para 0<x<L, a integral em [-L,L] reduz a integral em [0,L]:
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx =\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\frac{a}{L}x\,dx =\frac{a}{L^2}\int_{0}^{L}x\,dx.
Calcule a integral \int_{0}^{L}x\,dx=\dfrac{L^2}{2}. Substituindo:
a_0=\frac{a}{L^2}\cdot\frac{L^2}{2}=\frac{a}{2}.
Portanto o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{a}{4}.

Passo 4

Calcular a_n.
Escrevemos
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx =\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\frac{a}{L}x\cos\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx =\frac{a}{L^2}\int_{0}^{L}x\cos\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx.
Para calcular a integral use integração por partes. Defina
k=\frac{n\pi}{L}.
Então precisamos de \int_{0}^{L} x\cos(kx)\,dx. Aplicando integração por partes (tomando u=x, dv=\cos(kx)\,dx, assim du=dx, v=\dfrac{1}{k}\sin(kx)):
\int x\cos(kx)\,dx=\frac{x}{k}\sin(kx)+\frac{1}{k^2}\cos(kx)+C.
Avalie de 0 a L:
\int_{0}^{L} x\cos(kx)\,dx =\Big[\frac{x}{k}\sin(kx)+\frac{1}{k^2}\cos(kx)\Big]_{0}^{L} =\frac{L}{k}\sin(kL)+\frac{1}{k^2}\cos(kL)-\frac{1}{k^2}\cos(0).
Agora use kL=n\pi, de modo que \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n, \cos(0)=1. Assim
\int_{0}^{L} x\cos(kx)\,dx=\frac{1}{k^2}\big((-1)^n-1\big).
Voltando para a_n:
a_n=\frac{a}{L^2}\cdot\frac{1}{k^2}\big((-1)^n-1\big).
Substituindo k^2=(n\pi/L)^2=\dfrac{n^2\pi^2}{L^2} obtém-se
a_n=\frac{a}{L^2}\cdot\frac{L^2}{n^2\pi^2}\big((-1)^n-1\big) =\frac{a}{n^2\pi^2}\big((-1)^n-1\big).

Passo 5

Simplificar [a_n) por paridade de n.
Observe que (-1)^n-1 vale:
  • se n é par: (-1)^n-1=1-1=0, logo a_n=0 para n par;
  • se n é ímpar: (-1)^n-1=-1-1=-2, logo para n ímpar
a_n=\frac{a}{n^2\pi^2}(-2)=-\frac{2a}{n^2\pi^2}\qquad(\text{para \(n\) ímpar}).í
Portanto podemos escrever
a_n=\begin{cases} 0 & \text{se \(n é par},\[4pt] -\dfrac{2a}{n2\pi2} & se n é ímpar. \end{cases}]]

Passo 6

Calcular b_n.
Começamos com a definição
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx =\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\frac{a}{L}x\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx =\frac{a}{L^2}\int_{0}^{L}x\sin(kx)\,dx,
onde novamente k=\dfrac{n\pi}{L}.
Calcule \int x\sin(kx)\,dx por partes (tomando u=x, dv=\sin(kx)\,dx, então v=-\dfrac{1}{k}\cos(kx)):
\int x\sin(kx)\,dx=-\frac{x}{k}\cos(kx)+\frac{1}{k^2}\sin(kx)+C.
Avalie de 0 a L:
\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx =\Big[-\frac{x}{k}\cos(kx)+\frac{1}{k^2}\sin(kx)\Big]_0^L =-\frac{L}{k}\cos(kL)+\frac{1}{k^2}\sin(kL)-\big(0+\frac{1}{k^2}\sin(0)\big).
Usando \cos(kL)=\cos(n\pi)=(-1)^n e \sin(n\pi)=0, \sin(0)=0, obtemos
\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx=-\frac{L}{k}(-1)^n.
Substituindo em b_n:
b_n=\frac{a}{L^2}\cdot\Big(-\frac{L}{k}(-1)^n\Big)=-\frac{a}{L^2}\cdot\frac{L}{k}(-1)^n=-\frac{a}{Lk}(-1)^n.
Como 1/k=\dfrac{L}{n\pi}, tem-se \dfrac{L}{k}=\dfrac{L^2}{n\pi} e então a expressão simplifica para
b_n=-\frac{a}{n\pi}(-1)^n=\frac{a}{n\pi}(-1)^{n+1}.
Portanto
b_n=\frac{(-1)^{n+1}a}{n\pi}\qquad\text{para todo }n\ge 1.

Passo 7

Escrever a série de Fourier completa reunindo os coeficientes encontrados.
Recordando \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{a}{4}, a_n e b_n, a série fica:
f(x)=\frac{a}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{a}{n^2\pi^2}\big((-1)^n-1\big)\cos\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg) +\frac{(-1)^{n+1}a}{n\pi}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\bigg).
Opcionalmente, destacando que a_n vale zero para n par e -\dfrac{2a}{n^2\pi^2} para n ímpar, pode-se escrever a soma dos cossenos apenas sobre índices ímpares:
f(x)=\frac{a}{4}-\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{2a}{n^2\pi^2}\cos\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}a}{n\pi}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg).í
Ambas as formas são equivalentes; a primeira mostra os coeficientes para todo n, a segunda realça a presença apenas de termos de cosseno ímpares.

Resposta

f(x)=\frac{a}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{n^2\pi^2}\big((-1)^n-1\big)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) +\frac{(-1)^{n+1}a}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)

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