Dada a função definida em R-2, calcule o(s) limite(s) indicado(s), se existir(em), e, se não existir(em), especifique a razão. lim x 2^- f(x)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{\left|3x^{2} - 5x - 2\right|}{x - 2} $ definida para todos os reais menos $ x = 2 $. O objetivo aqui é calcular o limite dessa função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, $ \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) $. Vamos precisar entender um pouco sobre limites, valor absoluto e como simplificar expressões matemáticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão dentro do valor absoluto, $ 3x^{2} - 5x - 2 $, quando $ x $ está próximo de 2. Para isso, vamos encontrar os valores de $ x $ que fazem essa expressão ser zero.
Resolvendo $ 3x^{2} - 5x - 2 = 0 $:
3x^2 - 5x - 2
Então, as soluções são $ x = 2 $ e $ x = -\frac{1}{3} $.
Passo 3
Agora, vamos entender o sinal de $ 3x^{2} - 5x - 2 $ em cada intervalo definido por essas raízes:
Para $ x < -\frac{1}{3} $, a expressão é positiva.
Para $ -\frac{1}{3} < x < 2 $, a expressão é negativa.
Para $ x > 2 $, a expressão é positiva novamente.
Como estamos interessados em $ x $ se aproximando de 2 pela esquerda ($ x \rightarrow 2^{-} $), vamos considerar que $ x $ está entre $ -\frac{1}{3} $ e 2, ou seja, $ 3x^{2} - 5x - 2 $ é negativa nesse intervalo.
Passo 4
Devido ao valor absoluto, $ \left|3x^{2} - 5x - 2\right| $ vai se tornar $ -(3x^{2} - 5x - 2) = -3x^{2} + 5x + 2 $ quando $ x $ está entre $ -\frac{1}{3} $ e 2. Então, nossa função fica:
|3x^2 - 5x - 2|
Passo 5
Vamos tentar simplificar essa expressão. Primeiro, vamos fatorar o numerador: