Dada a função f(x)=|3 x^2-5 x-2|x-2 definida em R-2, calcule o(s) limite(s) indicado(s), se existir(em), e, se não existir(em), especifique a razão.
lim x 2^- f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{\left|3x^{2} - 5x - 2\right|}{x - 2} $ definida para todos os reais menos $ x = 2 $. O objetivo aqui é calcular o limite dessa função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, $ \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) $. Vamos precisar entender um pouco sobre limites, valor absoluto e como simplificar expressões matemáticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão dentro do valor absoluto, $ 3x^{2} - 5x - 2 $, quando $ x $ está próximo de 2. Para isso, vamos encontrar os valores de $ x $ que fazem essa expressão ser zero.
Resolvendo $ 3x^{2} - 5x - 2 = 0 $:
3x^2 - 5x - 2
Então, as soluções são $ x = 2 $ e $ x = -\frac{1}{3} $.

Passo 3

Agora, vamos entender o sinal de $ 3x^{2} - 5x - 2 $ em cada intervalo definido por essas raízes:
  • Para $ x < -\frac{1}{3} $, a expressão é positiva.
  • Para $ -\frac{1}{3} < x < 2 $, a expressão é negativa.
  • Para $ x > 2 $, a expressão é positiva novamente.
Como estamos interessados em $ x $ se aproximando de 2 pela esquerda ($ x \rightarrow 2^{-} $), vamos considerar que $ x $ está entre $ -\frac{1}{3} $ e 2, ou seja, $ 3x^{2} - 5x - 2 $ é negativa nesse intervalo.

Passo 4

Devido ao valor absoluto, $ \left|3x^{2} - 5x - 2\right| $ vai se tornar $ -(3x^{2} - 5x - 2) = -3x^{2} + 5x + 2 $ quando $ x $ está entre $ -\frac{1}{3} $ e 2. Então, nossa função fica:
|3x^2 - 5x - 2|

Passo 5

Vamos tentar simplificar essa expressão. Primeiro, vamos fatorar o numerador:
-3x^2 + 5x + 2 = -1(3x^2 - 5x - 2) = -1 cdot 3(x - 2)(x + 13)
Então, a função fica:
f(x) = -3(x - 2)(x + 13)x - 2

Passo 6

Perceba que o termo $ (x - 2) $ aparece no numerador e no denominador, e como $ x \neq 2 $, podemos simplificar:
(x - 2)

Passo 7

Agora, é só calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2:
x

Resposta

O limite $ \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) $ é igual a limx 2^- f(x) .

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