Faça o que se pede nos seguintes itens:
(e) Obter a solução da equação integro-diferencial
integral0^t y^prime prime(u) y^prime(t-u) d u=y^prime(t)-y(t), y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integro-diferencial
integral0^ty''(u),y'(t-u),du ,=,y'(t)-y(t), y(0)=y'(0)=0
O conteúdo principal aqui é usar transformada de Laplace e a propriedade de convolução para transformar a equação em uma equação algébrica em Y(s).

Passo 2

Aplicar transformada de Laplace em ambos os lados. Usamos
Ly'(t)=sY(s)-y(0), Ly''(t)=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)
e a propriedade de convolução
Llintegral0^tf(u)g(t-u)dur=F(s)G(s)

Passo 3

Transformando o lado esquerdo temos
Ly''*y'=l(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0)r)cdotl(sY(s)-y(0)r)
Como y(0)=y'(0)=0, isso vira s^2Y(s)cdot sY(s)=s^3Y(s)^2.
No lado direito,
Ly'(t)-y(t)=(sY(s)-y(0))-Y(s)=(s-1)Y(s)

Passo 4

Igualando as transformadas ficamos com a equação algébrica
s^3Y(s)^2=(s-1)Y(s)
Fatorando Y(s):
Y(s)l(s^3Y(s)-(s-1)r)=0

Passo 5

As soluções possíveis são
  1. Y(s)=0,
  2. s^3Y(s)=s-1 Y(s)=(s-1)/s^3=1/s^2 -1/s^3
Invertendo a segunda via transformada inversa:
y'(0)=1
mas isso dá y'(0)=0, contrariando a condição .

Passo 6

Portanto a única solução que satisfaz as condições iniciais é a trivial:
y(t)=0forall t

Resposta

y(t)=0

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