Resolva a seguinte equação diferencial não homogênea
y^prime prime prime+y^prime prime=e^x cos x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial $ y’’’ + y’’ = e^{x} \cos x $. Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar entender de equações homogêneas, encontrar a solução geral da equação homogênea e depois achar uma solução particular para a parte não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida retirando o termo não homogêneo da equação original:
y''' + y'' = 0
Essa é uma equação linear com coeficientes constantes. Para resolver, usamos a equação característica.

Passo 3

A equação característica para $ y’’’ + y’’ = 0 $ é obtida substituindo $ y = e^{rt} $. Assim, temos:
y''' + y'' = 0
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Fatorando a equação característica:
r^2 (r + 1) = 0
Isso nos dá duas soluções:
r^2 = 0 Rightarrow r = 0 (raiz dupla)
r + 1 = 0 Rightarrow r = -1
Então, temos raízes $ r = 0 $ (com multiplicidade 2) e $ r = -1 $.

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
yh(x) = (C1 + C2 x) e^0x + C3 e^-x = C1 + C2 x + C3 e^-x
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea:
yp(x)
Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Primeiro, vamos supor uma forma para $ y_p(x) $ baseada no termo não homogêneo $ e^{x} \cos x $.

Passo 7

Como o termo não homogêneo é $ e^{x} \cos x $, nossa suposição para a solução particular será:
e^x cos x
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.

Passo 8

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
yp(x)
Segunda derivada:
yp' = e^x (A cos x + B sin x) + e^x (-A sin x + B cos x) = e^x [(A + B) cos x + (B - A) sin x]
Terceira derivada:
yp'' = e^x [(A + B) cos x + (B - A) sin x] + e^x [(-A - B) sin x + (B - A) cos x] = e^x [ (2B) cos x + (-2A) sin x ]

Passo 9

Substituímos $ y_p $, $ y_p’’ $, e $ y_p’’’ $ na equação original $ y’’’ + y’’ = e^{x} \cos x $:
yp
Simplificando:
yp''
yp'''

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos $ \cos x $ e $ \sin x $ em ambos os lados da equação:
Para $ \cos x $:
cos x
Para $ \sin x $:
sin x
Agora temos um sistema de equações para resolver.

Passo 11

Vamos resolver o sistema:
4B - 2A = 1 -4A - 2B = 0
Primeiro, simplificando a segunda equação dividindo por -2:
2A + B = 0 Rightarrow B = -2A
Substituindo $ B = -2A $ na primeira equação:
B = -2A
Agora, substituindo $ A = -\frac{1}{10} $ em $ B = -2A $:
4(-2A) - 2A = 1 -8A - 2A = 1 -10A = 1 A = -110

Passo 12

Com $ A = -\frac{1}{10} $ e $ B = \frac{1}{5} $, a solução particular é:
A = -110

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea $ y_h(x) $ e da solução particular $ y_p(x) $:
yh(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-x + e^x ( -110 cos x + 15 sin x )
onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.

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