Resolva a seguinte equação diferencial não homogênea
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial $ y’’’ + y’’ = e^{x} \cos x $. Essa é uma equação diferencial linear de terceira ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar entender de equações homogêneas, encontrar a solução geral da equação homogênea e depois achar uma solução particular para a parte não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida retirando o termo não homogêneo da equação original:
Essa é uma equação linear com coeficientes constantes. Para resolver, usamos a equação característica.
Passo 3
A equação característica para $ y’’’ + y’’ = 0 $ é obtida substituindo $ y = e^{rt} $. Assim, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Fatorando a equação característica:
Isso nos dá duas soluções:
Então, temos raízes $ r = 0 $ (com multiplicidade 2) e $ r = -1 $.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea:
Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Primeiro, vamos supor uma forma para $ y_p(x) $ baseada no termo não homogêneo $ e^{x} \cos x $.
Passo 7
Como o termo não homogêneo é $ e^{x} \cos x $, nossa suposição para a solução particular será:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 9
Substituímos $ y_p $, $ y_p’’ $, e $ y_p’’’ $ na equação original $ y’’’ + y’’ = e^{x} \cos x $:
Simplificando:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos $ \cos x $ e $ \sin x $ em ambos os lados da equação:
Para $ \cos x $:
Para $ \sin x $:
Agora temos um sistema de equações para resolver.
Passo 11
Vamos resolver o sistema:
Primeiro, simplificando a segunda equação dividindo por -2:
Substituindo $ B = -2A $ na primeira equação:
Agora, substituindo $ A = -\frac{1}{10} $ em $ B = -2A $:
Passo 12
Com $ A = -\frac{1}{10} $ e $ B = \frac{1}{5} $, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea $ y_h(x) $ e da solução particular $ y_p(x) $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.