Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b)
.
Resposta:
.
(b)
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI
, com condições iniciais
e
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem não homogênea com forçamento em degrau, e vamos usar transformada de Laplace e teorema de deslocamento no tempo para tratar o termo
.
Passo 2
A parte homogênea é
. A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Aplicando Laplace em ambos os lados e usando
,
:
Assim,
e isolando
:
Passo 4
Para inverter a parte não deslocada usamos frações parciais:
Logo
Passo 5
Fazendo a inversa de Laplace: a primeira parcela
vira
. As outras, pelo teorema do deslocamento, geram termos ativados em
:
Portanto
Resposta
y(t)=\cos2t-\frac{1}{6}\sin2(t-2\pi),\mathcal{U}(t-2\pi)+\frac{1}{3}\sin(t-2\pi),\mathcal{U}(t-2\pi)