Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b) y^prime prime+4 y=sin t U(t-2 pi), y(0)=1, y^prime(0)=0.
Resposta: y(t)=cos 2 t-16 sin 2(t-2 pi) U(t-2 pi)+13 sin (t-2 pi) U(t-2 pi).

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI y''+4y=sin t,U(t-2pi), com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem não homogênea com forçamento em degrau, e vamos usar transformada de Laplace e teorema de deslocamento no tempo para tratar o termo U(t-2pi).

Passo 2

A parte homogênea é y''+4y=0. A equação característica é r^2+4=0, com raízes r=pm2i. Logo a solução geral homogênea é
yh(t)=C1cos2t+C2sin2t

Passo 3

Aplicando Laplace em ambos os lados e usando y(0)=1, y'(0)=0:
Ly''=s^2Y(s)-scdot1-0, L4y=4Y(s), Lsin t,U(t-2pi)=e^-2pi s1s^2+1
Assim,
(s^2+4)Y(s)-s= race^-2pi ss^2+1
e isolando Y(s):
Y(s)= racss^2+4+ race^-2pi s(s^2+4)(s^2+1)

Passo 4

Para inverter a parte não deslocada usamos frações parciais:
1(s^2+4)(s^2+1)=-131s^2+4+131s^2+1
Logo
Y(s)= racss^2+4+e^-2pi sl(-tfrac131s^2+4+tfrac131s^2+1r)

Passo 5

Fazendo a inversa de Laplace: a primeira parcela s/(s^2+4) vira cos2t. As outras, pelo teorema do deslocamento, geram termos ativados em t>=2pi:
L^-1tfrac1s^2+4=(1/2)sin2t, L^-1tfrac1s^2+1=sin t
Portanto
y(t)=cos2t+l(-tfrac16sin2(t-2pi)+tfrac13sin(t-2pi)r)U(t-2pi)

Resposta

y(t)=\cos2t-\frac{1}{6}\sin2(t-2\pi),\mathcal{U}(t-2\pi)+\frac{1}{3}\sin(t-2\pi),\mathcal{U}(t-2\pi)

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