Dada a função f(x)=raiz[3]x^2, calcule a derivada de f no ponto x=8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)= raiz[3]x^2 no ponto x=8. O conteúdo principal aqui é derivada de função potência e vamos usar a regra do poder para funções na forma x^m.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função sem o radical usando potências. Temos
f(x)=raiz[3]x^2=(x^2)^1/3=x^2/3
Essa forma facilita aplicar a regra do poder.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do poder: para f(x)=x^m, f'(x)=m,x^m-1. Aqui m=2/3, então
f'(x)=23,x^23-1=23,x^-1/3

Passo 4

Falta só avaliar em x=8. Sabendo que 8^1/3=2, temos
f'(8)=23,8^-1/3=23cdot18^1/3=23cdot12=13

Resposta

13

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