Prove, por indução finita, que as seguintes fórmulas são válidas:
(1,0 pt. ) 2+5+8+cdots+(2+3 n)=(n+1)(4+3 n)2, forall n in N;

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução finita a soma de uma progressão aritmética:
Temos a sequência 2, 5, 8, …, 2+3n e queremos mostrar que
2 + 5 + 8 + cdots + (2 + 3n) = (n+1)(4 + 3n)2
Vamos usar indução matemática e as propriedades de soma de progressões aritméticas.

Passo 2

Verificamos a base da indução em n = 0. À esquerda, a soma dos termos até 2+3·0 é só 2. À direita, a fórmula dá
(0+1)(4 + 3·0)2 = 1 cdot 42 = 2
Portanto, a igualdade vale para n = 0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que a fórmula seja verdadeira para algum k ≥ 0, isto é,
2 + 5 + 8 + cdots + (2 + 3k) = (k+1)(4 + 3k)2
Queremos mostrar que ela vale para k+1.

Passo 4

Somando o próximo termo 2 + 3(k+1) aos dois lados da hipótese indutiva, obtemos
2 + 5 + cdots + (2 + 3k) + [2 + 3(k+1)] = (k+1)(4 + 3k)2 + [2 + 3(k+1)]
Agora transformamos o segundo termo em fração com denominador 2:
(k+1)(4 + 3k)2 + 2cdot2 + 2cdot3(k+1)2 = (k+1)(4 + 3k) + 4 + 6(k+1)2
No numerador,
(k+1)(4 + 3k) + 4 + 6(k+1) = 4k + 3k^2 + 4 + 3k + 4 + 6k = 3k^2 + (4k+3k+6k) + 8 = 3k^2 +13k +8
Fatorando 3k^2 +13k +8 = (k+2)(3k+4), obtemos
(k+2)(3k+4)2 = [(k+1)+1][4 + 3(k+1)]2,
que é exatamente a fórmula para n = k+1.

Passo 5

Como a base n=0 vale e o passo indutivo foi demonstrado, concluímos por indução que
2 + 5 + 8 + cdots + (2 + 3n) = (n+1)(4 + 3n)2
para todo n ∈ ℕ.

Resposta

A fórmula está provada: 2 + 5 + 8 + … + (2 + 3n) = \frac{(n+1)(4 + 3n)}{2} para todo n ∈ ℕ.

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