Prove, por indução finita, que as seguintes fórmulas são válidas:
pt.
;
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução finita a soma de uma progressão aritmética:
Temos a sequência 2, 5, 8, …, 2+3n e queremos mostrar que
Temos a sequência 2, 5, 8, …, 2+3n e queremos mostrar que
Vamos usar indução matemática e as propriedades de soma de progressões aritméticas.
Passo 2
Verificamos a base da indução em n = 0. À esquerda, a soma dos termos até 2+3·0 é só 2. À direita, a fórmula dá
Portanto, a igualdade vale para n = 0.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que a fórmula seja verdadeira para algum k ≥ 0, isto é,
Queremos mostrar que ela vale para k+1.
Passo 4
Somando o próximo termo 2 + 3(k+1) aos dois lados da hipótese indutiva, obtemos
Agora transformamos o segundo termo em fração com denominador 2:
No numerador,
Fatorando 3k^2 +13k +8 = (k+2)(3k+4), obtemos
que é exatamente a fórmula para n = k+1.
Passo 5
Como a base n=0 vale e o passo indutivo foi demonstrado, concluímos por indução que
para todo n ∈ ℕ.
Resposta
A fórmula está provada: 2 + 5 + 8 + … + (2 + 3n) = \frac{(n+1)(4 + 3n)}{2} para todo n ∈ ℕ.