Dada a função f(x)=raiz4-x, determine:
f(x+h)-f(x)h, h neq 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente de diferença de uma função radical, ou seja, a expressão f(x+h)-f(x)h para f(x)=raiz4-x. Vamos usar propriedades de radical e a técnica de racionalização.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença de forma explícita:
f(x+h)-f(x)h=raiz4-(x+h)-raiz4-xh
Aqui a dificuldade é a presença das raízes no numerador, então vamos racionalizar.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, raiz4-(x+h)+raiz4-x:
raiz4-(x+h)-raiz4-xhcdotraiz4-(x+h)+raiz4-xraiz4-(x+h)+raiz4-x

Passo 4

No numerador aplicamos a diferença de quadrados:
l(raiz4-(x+h)r)^2-l(raiz4-xr)^2=(4-x-h)-(4-x)=-h
O denominador fica
hl(raiz4-(x+h)+raiz4-xr).

Passo 5

Cancelando o fator h no numerador e denomidador, obtemos a forma simplificada do quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h=-1raiz4-(x+h)+raiz4-x

Resposta

-1raiz4 - x - h + raiz4 - x

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