Seja alpha(t)=(3 t-t^3, 3 t^2, 3 t+t^3).
Calcule o comprimento do arco AB da curva alpha, onde A=(0,0,0) e B=(-2,12,14);

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento do arco $ AB $ da curva definida por $ \alpha(t) = (3t - t^{3}, 3t^{2}, 3t + t^{3}) $, onde os pontos $ A $ e $ B $ são $ (0,0,0) $ e $ (-2,12,14) $ respectivamente. Vamos utilizar conceitos de cálculo de comprimentos de curvas paramétricas. Precisamos achar os valores de $ t $ correspondentes a $ A $ e $ B $ e depois integrar a velocidade da curva entre esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ t $ que corresponde ao ponto $ A = (0,0,0) $. Para isso, vamos igualar cada componente de $ \alpha(t) $ a zero:
t
Da segunda equação, $ 3t^{2} = 0 $, vemos que $ t = 0 $. Vamos verificar se esse valor satisfaz as outras equações:
A = (0,0,0)
Tudo confere, então $ t_A = 0 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de $ t $ que corresponde ao ponto $ B = (-2,12,14) $. Igualamos as componentes de $ \alpha(t) $ a cada coordenada de $ B $:
t
Primeiro, da equação (2):
B = (-2,12,14)
Vamos testar $ t = 2 $ nas equações (1) e (3):
Para $ t = 2 $:
alpha(t) çãçã
Então, $ t_B = 2 $.

Passo 4

Agora que temos $ t_A = 0 $ e $ t_B = 2 $, vamos calcular o comprimento do arco $ AB $. A fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica $ \alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) $ de $ t = a $ a $ t = b $ é:
tA = 0
Vamos primeiro encontrar as derivadas de $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $:
tB = 2

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na fórmula do comprimento do arco:
L = integral0^2 raiz(3 - 3t^2)^2 + (6t)^2 + (3 + 3t^2)^2 , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Primeiro, expanda cada termo:
(3 - 3t^2)^2 = 9 - 18t^2 + 9t^4 (6t)^2 = 36t^2 (3 + 3t^2)^2 = 9 + 18t^2 + 9t^4
Somando tudo:
9 - 18t^2 + 9t^4 + 36t^2 + 9 + 18t^2 + 9t^4 = 18 + 36t^2 + 18t^4
Então, a integral fica:
L = integral0^2 raiz18 + 36t^2 + 18t^4 , dt
Podemos fatorar 18 dentro da raiz:
raiz18(1 + 2t^2 + t^4) = raiz18 cdot raiz(t^2 + 1)^2 = 3raiz2 cdot (t^2 + 1)
Então, a integral simplifica para:
L = 3raiz2 integral0^2 (t^2 + 1) , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^2 (t^2 + 1) , dt = [ t^33 + t ]0^2 = ( 83 + 2 ) - ( 0 + 0 ) = 83 + 2 = 143
Multiplicando pela constante que ficou fora da integral:
L = 3raiz2 cdot 143 = 14raiz2

Resposta

O comprimento do arco $ AB $ da curva $ \alpha(t) $ é $ 14\sqrt{2} $ unidades.

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