Seja
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Calcule o comprimento do arco
da curva
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e
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Calcule o comprimento do arco
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento do arco $ AB $ da curva definida por $ \alpha(t) = (3t - t^{3}, 3t^{2}, 3t + t^{3}) $, onde os pontos $ A $ e $ B $ são $ (0,0,0) $ e $ (-2,12,14) $ respectivamente. Vamos utilizar conceitos de cálculo de comprimentos de curvas paramétricas. Precisamos achar os valores de $ t $ correspondentes a $ A $ e $ B $ e depois integrar a velocidade da curva entre esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ t $ que corresponde ao ponto $ A = (0,0,0) $. Para isso, vamos igualar cada componente de $ \alpha(t) $ a zero:
Da segunda equação, $ 3t^{2} = 0 $, vemos que $ t = 0 $. Vamos verificar se esse valor satisfaz as outras equações:
Tudo confere, então $ t_A = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de $ t $ que corresponde ao ponto $ B = (-2,12,14) $. Igualamos as componentes de $ \alpha(t) $ a cada coordenada de $ B $:
Primeiro, da equação (2):
Vamos testar $ t = 2 $ nas equações (1) e (3):
Para $ t = 2 $:
Então, $ t_B = 2 $.
Passo 4
Agora que temos $ t_A = 0 $ e $ t_B = 2 $, vamos calcular o comprimento do arco $ AB $. A fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica $ \alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) $ de $ t = a $ a $ t = b $ é:
Vamos primeiro encontrar as derivadas de $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $:
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Primeiro, expanda cada termo:
Somando tudo:
Então, a integral fica:
Podemos fatorar 18 dentro da raiz:
Então, a integral simplifica para:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Multiplicando pela constante que ficou fora da integral:
Resposta
O comprimento do arco $ AB $ da curva $ \alpha(t) $ é $ 14\sqrt{2} $ unidades.