Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,5) e (4,2).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos por onde a reta passa:
  • A(1,5)
  • B(4,2)
O que se pede: encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos. Vou listar as informações relevantes que vou usar:
  • Coordenadas de A: x_A=1, y_A=5.
  • Coordenadas de B: x_B=4, y_B=2.

Passo 2

Entender o que é inclinação (coeficiente angular) da reta: a inclinação m mede quanto a reta sobe ou desce quando x aumenta de 1 unidade. A fórmula para a inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui x_1,x_2 e y_1,y_2 são as coordenadas dos dois pontos; a diferença y_2-y_1 representa quanto a reta varia na direção y e x_2-x_1 quanto varia na direção x.

Passo 3

Calcular a inclinação usando os pontos dados. Vou usar A(1,5) como (x_1,y_1) e B(4,2) como (x_2,y_2):
m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{2-5}{4-1}=\frac{-3}{3}=-1.
Interpretação: m=-1 significa que a cada aumento de 1 em x, y diminui 1.

Passo 4

Agora uso a forma ponto-inclinação da equação da reta: para uma reta com inclinação m que passa por (x_0,y_0),
y-y_0=m(x-x_0).
Escolho o ponto A(1,5) para (x_0,y_0). Substituindo m=-1, x_0=1, y_0=5, obtemos
y-5=-1(x-1).

Passo 5

Simplificar a equação para a forma mais comum (forma explícita ou forma reduzida). Desenvolvendo o lado direito:
y-5=-x+1.
Agora isolo y:
y=-x+1+5,
y=-x+6.
Também posso escrever em forma padrão (ax+by+c=0) somando x aos dois lados:
x+y=6.

Passo 6

Verificação rápida: substituir x=4 na equação y=-x+6 para checar o ponto B:
y=-4+6=2,
que é exatamente y_B. Portanto a equação está correta.

Resposta

y=-x+6
x+y=6

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