Resolver a inequação (x-1)(3-x)>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação (x-1)(3-x)>0.
Informações dadas:
  • A expressão é um produto de dois fatores: x-1 e 3-x.
  • Queremos os valores de x para os quais esse produto é estritamente maior que 0 (positivo).

Passo 2

Identificar os pontos em que cada fator zera (esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal do produto é constante). Resolver:
x-1=0\quad\Rightarrow\quad x=1,
3-x=0\quad\Rightarrow\quad x=3.
Portanto os pontos críticos são x=1 e x=3.

Passo 3

Relembrando uma regra simples e muito útil (aquela que salva em prova): o produto de dois números reais é positivo se e somente se ambos os números tiverem o mesmo sinal, ou seja:
  • ambos positivos, ou
  • ambos negativos.
    Vamos aplicar essa regra aos fatores x-1 e 3-x.

Passo 4

Dividir a reta real pelos pontos críticos em três intervalos onde o sinal dos fatores não muda:
  • Intervalo 1: (-\infty,1)
  • Intervalo 2: (1,3)
  • Intervalo 3: (3,\infty)

Passo 5

Escolher um ponto teste em cada intervalo e avaliar o sinal dos fatores e do produto.
Para o intervalo (-\infty,1), escolha x=0:
x-1 = 0-1 = -1 \quad(\text{negativo}),
3-x = 3-0 = 3 \quad(\text{positivo}),
produto: negativo \times positivo = negativo. Logo o produto não é maior que 0 nesse intervalo.
Para o intervalo (1,3), escolha x=2:
x-1 = 2-1 = 1 \quad(\text{positivo}),
3-x = 3-2 = 1 \quad(\text{positivo}),
produto: positivo \times positivo = positivo. Logo o produto é maior que 0 nesse intervalo.
Para o intervalo (3,\infty), escolha x=4:
x-1 = 4-1 = 3 \quad(\text{positivo}),
3-x = 3-4 = -1 \quad(\text{negativo}),
produto: positivo \times negativo = negativo. Logo o produto não é maior que 0 nesse intervalo.

Passo 6

Como o produto é positivo só no intervalo (1,3) e a inequação é estrita ( >\,0), os pontos x=1 e x=3 não pertencem à solução.

Passo 7

Resposta final em forma de conjunto: todos os x tais que 1<x<3. Dica rápida para prova: encontrar zeros, dividir a reta, testar um ponto em cada intervalo — funciona sempre e é rápido.

Resposta

(1,3)

Exercícios relacionados