Dada a função
, calcule o ângulo entre as retas que são tangentes ao gráfico de
no ponto
e que estão contidas nos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis:
E precisa encontrar o ângulo entre duas retas que são tangentes ao gráfico dessa função no ponto
. Essas retas estão contidas nos planos
e
.
Para resolver isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais, para encontrar as inclinações das retas tangentes nos planos mencionados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto no gráfico da função. Quando
e
:
Então, o ponto no gráfico é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão as inclinações das retas tangentes nos respectivos planos.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação da reta tangente no plano
. No plano
, a variação é em
, então a reta tangente tem inclinação dada por
.
A equação da reta tangente no plano
é:
Mas como estamos no plano
, o
é constante, então a reta tangente é na direção de
com inclinação 1. Portanto, a direção da reta é
.
Passo 6
No plano
, a variação é em
, então a reta tangente tem inclinação dada por
.
A equação da reta tangente no plano
é:
Mas no plano
, o
é constante, então a reta tangente é na direção de
com inclinação 1. Portanto, a direção da reta é
.
Passo 7
Agora, temos as direções das duas retas tangentes:
- Reta no plano
: vetor diretor - Reta no plano
: vetor diretor
Para encontrar o ângulo
entre essas duas retas, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Agora, os módulos de
e
:
Então:
Passo 8
Finalmente, para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno de
:
Resposta
O ângulo entre as retas tangentes é de
.