Dada a função f(x, y)=(1+senh(x))(1+sen(y)), calcule o ângulo entre as retas que são tangentes ao gráfico de f no ponto (0,0) e que estão contidas nos planos X Y e X Z.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis:
f(x, y) = (1 + sinh(x))(1 + sin(y))
E precisa encontrar o ângulo entre duas retas que são tangentes ao gráfico dessa função no ponto (0,0). Essas retas estão contidas nos planos XY e XZ.
Para resolver isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais, para encontrar as inclinações das retas tangentes nos planos mencionados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto no gráfico da função. Quando x = 0 e y = 0:
f(0, 0) = (1 + sinh(0))(1 + sin(0)) = (1 + 0)(1 + 0) = 1
Então, o ponto no gráfico é (0, 0, 1).

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y. As derivadas parciais nos dão as inclinações das retas tangentes nos respectivos planos.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x:
fx(x, y) = partialpartial x [(1 + sinh(x))(1 + sin(y))] = cosh(x)(1 + sin(y))
No ponto (0, 0):
fx(0, 0) = cosh(0)(1 + sin(0)) = 1 times 1 = 1

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a y:
fy(x, y) = partialpartial y [(1 + sinh(x))(1 + sin(y))] = (1 + sinh(x))cos(y)
No ponto (0, 0):
fy(0, 0) = (1 + sinh(0))cos(0) = 1 times 1 = 1

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação da reta tangente no plano XY. No plano XY, a variação é em y, então a reta tangente tem inclinação dada por fx.
A equação da reta tangente no plano XY é:
z = fx(0,0) cdot x + f(0,0) = 1 cdot x + 1
Mas como estamos no plano XY, o z é constante, então a reta tangente é na direção de x com inclinação 1. Portanto, a direção da reta é (1, 0, 1).

Passo 6

No plano XZ, a variação é em x, então a reta tangente tem inclinação dada por fy.
A equação da reta tangente no plano XZ é:
z = fy(0,0) cdot y + f(0,0) = 1 cdot y + 1
Mas no plano XZ, o y é constante, então a reta tangente é na direção de z com inclinação 1. Portanto, a direção da reta é (0, 1, 1).

Passo 7

Agora, temos as direções das duas retas tangentes:
  • Reta no plano XY: vetor diretor u = (1, 0, 1)
  • Reta no plano XZ: vetor diretor v = (0, 1, 1)
Para encontrar o ângulo theta entre essas duas retas, usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1
Agora, os módulos de u e v:
|u| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
|v| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Então:
cos(theta) = 1raiz2 cdot raiz2 = 12

Passo 8

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de 12:
theta = arccos(12) = 60^circ

Resposta

O ângulo entre as retas tangentes é de 60^circ.

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