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a função que dá a área de uma caixa retangular de dimensões
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ A(x, y, z) $ que representa a área de uma caixa retangular com dimensões $ x $, $ y $ e $ z $. A tarefa é encontrar a derivada parcial de $ A $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial A}{\partial x} $.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre área de caixas retangulares.
- Noções básicas de cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área total de uma caixa retangular. Uma caixa tem 6 faces: duas com área $ xy $, duas com área $ yz $ e duas com área $ xz $.
Então, a área total $ A $ é dada por:
Passo 3
Agora que temos a expressão para $ A $, vamos reescrevê-la de forma clara:
Passo 4
Queremos encontrar a derivada parcial de $ A $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial A}{\partial x} $. Isso significa que vamos derivar a função $ A $ considerando $ y $ e $ z $ como constantes.
Passo 5
Vamos derivar cada termo de $ A $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ 2xy $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ 2yz $ em relação a $ x $:
(since $ y $ and $ z $ are constants)
- Derivada de $ 2xz $ em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, somamos todas as derivadas que calculamos:
Resposta
A derivada parcial de $ A $ em relação a $ x $ é: