Seja A(x, y, z) a função que dá a área de uma caixa retangular de dimensões x, y, z. Encontre partial Apartial x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ A(x, y, z) $ que representa a área de uma caixa retangular com dimensões $ x $, $ y $ e $ z $. A tarefa é encontrar a derivada parcial de $ A $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial A}{\partial x} $.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre área de caixas retangulares.
  • Noções básicas de cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área total de uma caixa retangular. Uma caixa tem 6 faces: duas com área $ xy $, duas com área $ yz $ e duas com área $ xz $.
Então, a área total $ A $ é dada por:
xy

Passo 3

Agora que temos a expressão para $ A $, vamos reescrevê-la de forma clara:
A

Passo 4

Queremos encontrar a derivada parcial de $ A $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial A}{\partial x} $. Isso significa que vamos derivar a função $ A $ considerando $ y $ e $ z $ como constantes.

Passo 5

Vamos derivar cada termo de $ A $ em relação a $ x $:
  1. Derivada de $ 2xy $ em relação a $ x $:
A
  1. Derivada de $ 2yz $ em relação a $ x $:
x
(since $ y $ and $ z $ are constants)
  1. Derivada de $ 2xz $ em relação a $ x $:
2xy

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas que calculamos:
partial Apartial x = 2y + 0 + 2z = 2y + 2z

Resposta

A derivada parcial de $ A $ em relação a $ x $ é:
A

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