Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas de várias funções compostas de complexidade crescente, cobrindo potência, funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e quocientes. O conteúdo principal é a regra da cadeia, que afirma que, para
, temos
.
Passo 2
Para funções do tipo
, aplicamos a derivada de potência composta:
. No item (a) temos
e
, daí
.
Passo 3
No item (b), também usamos
com
. Primeiro
. Então
.
Passo 4
No item © temos soma de compostos:
e
. Derivando cada termo:
e
. Somando, resulta
.
Passo 5
Para os itens (d) e (e) usamos a regra da potência fracionária:
com
em (d) e
em (e). No (d),
,
, então
. No (e),
,
, logo
.
Passo 6
No item (f) a função é
. Escrevemos
e derivamos
. Assim
, de onde
.
Passo 7
Em (g) temos
com
. Sabemos
e
. Logo
.
Passo 8
No item (h),
com
. Temos
. Então
.
Passo 9
O item (i) envolve
. Usamos logaritmo:
. Derivando:
, e
. Assim
, de onde
.
Passo 10
Em (j) aplicamos a regra do quociente em
:
,
;
,
. Logo
.
Passo 11
No item (k),
. A derivada de
é
, então
.
Passo 12
No item (l),
. Usamos
e
com
. Então
.
Passo 13
Por fim, em (m)
. Definimos
,
. Como
, resulta
.
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)