Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(a) dd x[(x^2+4)^6]
(b) dd x((1+cos ^2 x)^47)
© dd x(sen(x^2)+sen^2 x)
(d) (raizx+raizx)^prime
(e) dd t[(t-1t)^3 / 2]
(f) dd x[(2 x+1)^x]
(g) dd x[sec (raizx^2+1)]^prime
(h) dd x(raizx^2+e^raizx)
(i) (x^x^x)^prime
(j) dd theta(sen thetatheta)
(k) (e^-s)^prime
(l) [ln (ln x)]^prime
(m) (sen(x-sen x))^prime.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de várias funções compostas de complexidade crescente, cobrindo potência, funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e quocientes. O conteúdo principal é a regra da cadeia, que afirma que, para f(x)=h(g(x)), temos f'(x)=h'(g(x))cdot g'(x).

Passo 2

Para funções do tipo f(x)=[u(x)]^n, aplicamos a derivada de potência composta: f'(x)=n,[u(x)]^n-1,u'(x). No item (a) temos u(x)=x^2+4 e n=6, daí f'(x)=6(x^2+4)^5cdot 2x=12x(x^2+4)^5.

Passo 3

No item (b), também usamos f(x)=[u(x)]^47 com u(x)=1+cos^2x. Primeiro u'(x)=2cos xcdot(-sin x)=-2cos xsin x. Então f'(x)=47(1+cos^2x)^46cdot(-2cos xsin x)=-94cos xsin x,(1+cos^2x)^46.

Passo 4

No item © temos soma de compostos: sin(x^2) e sin^2x. Derivando cada termo: ddxsin(x^2)=cos(x^2)cdot2x e ddxsin^2x=2sin xcdotcos x. Somando, resulta 2xcos(x^2)+2sin xcos x.

Passo 5

Para os itens (d) e (e) usamos a regra da potência fracionária: f(x)=[u(x)]^m com m=1/2 em (d) e m=3/2 em (e). No (d), u(x)=x+raiz x, u'(x)=1+tfrac12raiz x, então f'(x)=tfrac12(x+raiz x)^-1/2,(1+tfrac12raiz x). No (e), u(t)=t-1/t, u'(t)=1+1/t^2, logo f'(t)=tfrac32(t-1/t)^1/2,(1+1/t^2).

Passo 6

No item (f) a função é f(x)=(2x+1)^x. Escrevemos f(x)=e^xln(2x+1) e derivamos ln f=xln(2x+1). Assim f'f=ln(2x+1)+xcdot22x+1, de onde f'(x)=(2x+1)^xl[ln(2x+1)+2x2x+1r].

Passo 7

Em (g) temos f(x)=sec(u) com u(x)=raizx^2+1. Sabemos ddusec u=sec utan u e dudx=tfracxraizx^2+1. Logo f'(x)=sec(raizx^2+1),tan(raizx^2+1)cdotxraizx^2+1.

Passo 8

No item (h), f(x)=raizx^2+e^raiz x=[u(x)]^1/2 com u=x^2+e^raiz x. Temos u'=2x+e^raiz xcdot12raiz x. Então f'= tfrac12u^-1/2,u'=2x+tfrace^raiz x2raiz x2raizx^2+e^raiz x.

Passo 9

O item (i) envolve f(x)=x^x^x. Usamos logaritmo: ln f=x^xln x. Derivando: f'f=ddx(x^x)ln x + x^x1x, e ddx(x^x)=x^x(ln x+1). Assim f'f=x^x(ln x+1)ln x+x^xx, de onde f'(x)=x^x^x,x^xl[(ln x+1)ln x+tfrac1xr].

Passo 10

Em (j) aplicamos a regra do quociente em sinthetatheta: u=sintheta, u'=costheta; v=theta, v'=1. Logo ddtheta=u'v-uv'v^2=thetacostheta-sinthetatheta^2.

Passo 11

No item (k), f(s)=e^-s. A derivada de e^u é e^u,u', então f'(s)=e^-scdot(-1)=-e^-s.

Passo 12

No item (l), f(x)=ln(ln x). Usamos ddxln u=1/ucdot u' e u=ln x com u'=1/x. Então f'(x)=1ln xcdot1x=1xln x.

Passo 13

Por fim, em (m) f(x)=sin(x-sin x). Definimos u=x-sin x, u'=1-cos x. Como ddusin u=cos u, resulta f'(x)=cos(x-sin x),(1-cos x).

Resposta

(a) 12x(x^2+4)^5
(b) -94cos xsin x,(1+cos^2x)^46
© 2xcos(x^2)+2sin xcos x
(d) tfrac12(x+raiz x)^-1/2,(1+tfrac12raiz x)
(e) tfrac32(t-1/t)^1/2,(1+1/t^2)
(f) (2x+1)^xl[ln(2x+1)+tfrac2x2x+1r]
(g) sec(raizx^2+1)tan(raizx^2+1)cdotxraizx^2+1
(h) 2x+tfrace^raiz x2raiz x2raizx^2+e^raiz x
(i) x^x^xcdot x^xl[(ln x+1)ln x+tfrac1xr]
(j) thetacostheta-sinthetatheta^2
(k) -e^-s
(l) 1xln x
(m) cos(x-sin x),(1-cos x)

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