Determine o raio de convergência e o intervalo de divergência de cada série de potências abaixo.
sumn=1^infty n^2 x^n2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de divergência da série de potências:
sumn=1^infty n^2 x^n2^n
Isso envolve análise de séries de potências, onde buscamos entender para quais valores de x a série converge (dá um resultado finito) ou diverge (não dá um resultado finito). Para resolver isso, vamos usar o Critério da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Critério da Razão. Esse critério nos diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Identificando an na nossa série:
an = n^2 x^n2^n
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = (n+1)^2 x^n+12^n+1

Passo 4

Agora, formamos a razão an+1an:
an+1an = (n+1)^2 x^n+1 / 2^n+1n^2 x^n / 2^n = (n+1)^2 x2 n^2
Simplificando:
an+1an = (n+1)^2n^2 cdot x2

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (n+1)^2n^2 cdot x2 |
Vamos separar as partes:
limn to infty (n+1)^2n^2 = limn to infty (1 + 2n + 1n^2) = 1
Portanto:
L = | x2 |

Passo 6

Segundo o Critério da Razão, para a série convergir:
L < 1 Rightarrow | x2 | < 1
Resolvendo essa desigualdade:
| x | < 2
Isso significa que o raio de convergência R é 2.

Passo 7

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 2. Mas e nos pontos x = -2 e x = 2? Vamos verificar:
  • Para x = 2:
sumn=1^infty n^2 cdot 2^n2^n = sumn=1^infty n^2
Essa série é divergente, pois n^2 cresce sem limite.
  • Para x = -2:
sumn=1^infty n^2 cdot (-2)^n2^n = sumn=1^infty n^2 cdot (-1)^n
Essa série também diverge, já que os termos n^2 não tendem a zero.

Resposta

O raio de convergência da série é R = 2 e o intervalo de convergência é -2 < x < 2. Fora desse intervalo, a série diverge.

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