Calcule a integral de linha de integral de C de (z+y)^wed>= 2 * sqrt(1+x^wed>= 2) * d s, em que C é a intersecção do cilindro x^wed>= 2+y^wed>= 2=1 com o plano z=1-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo da curva $ C $ da função $ (z + y)^2 \cdot \sqrt{1 + x^2} $ multiplicada por $ ds $. A curva $ C $ é onde o cilindro $ x^2 + y^2 = 1 $ intercepta o plano $ z = 1 - y $. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva $ C $ e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva $ C $. Sabemos que $ C $ é a interseção de um cilindro circular com um plano. O cilindro $ x^2 + y^2 = 1 $ sugere usar coordenadas polares para simplificação. Vamos definir:
C
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para cobrir toda a circunferência.

Passo 3

Como o plano é $ z = 1 - y $, substituindo $ y = \sin \theta $, temos:
z = 1 - y
Então, nossa parametrização completa da curva $ C $ fica:
y = sin theta

Passo 4

Agora, vamos calcular o diferencial de arco $ ds $. Para isso, precisamos das derivadas das componentes de $ \mathbf{r}(\theta) $ em relação a $ \theta $:
ds
O diferencial de arco $ ds $ é dado por:
r(theta)
Substituindo as derivadas:
theta

Passo 5

Vamos agora simplificar a função que vamos integrar, que é $ (z + y)^2 \cdot \sqrt{1 + x^2} $:
Primeiro, substituímos $ z $ e $ y $:
(z + y)^2 cdot raiz1 + x^2
Então,
z
E,
y

Passo 6

Agora, nossa integral de linha fica:
integralC (z + y)^2 cdot raiz1 + x^2 , ds = integral0^2pi 1 cdot raiz1 + cos^2 theta cdot raiz1 + cos^2 theta , dtheta = integral0^2pi (1 + cos^2 theta) , dtheta

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral0^2pi (1 + cos^2 theta) , dtheta = integral0^2pi 1 , dtheta + integral0^2pi cos^2 theta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
Para a segunda parte, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então,
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = integral0^2pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral0^2pi 1 , dtheta + 12 integral0^2pi cos 2theta , dtheta = 12 cdot 2pi + 0 = pi

Passo 8

Somando as duas partes:
2pi + pi = 3pi

Resposta

A integral de linha é igual a $ 3\pi $.

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