Calcule a integral de linha de integral de
de
, em que
é a intersecção do cilindro
com o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo da curva $ C $ da função $ (z + y)^2 \cdot \sqrt{1 + x^2} $ multiplicada por $ ds $. A curva $ C $ é onde o cilindro $ x^2 + y^2 = 1 $ intercepta o plano $ z = 1 - y $. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva $ C $ e depois calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva $ C $. Sabemos que $ C $ é a interseção de um cilindro circular com um plano. O cilindro $ x^2 + y^2 = 1 $ sugere usar coordenadas polares para simplificação. Vamos definir:
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para cobrir toda a circunferência.
Passo 3
Como o plano é $ z = 1 - y $, substituindo $ y = \sin \theta $, temos:
Então, nossa parametrização completa da curva $ C $ fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o diferencial de arco $ ds $. Para isso, precisamos das derivadas das componentes de $ \mathbf{r}(\theta) $ em relação a $ \theta $:
O diferencial de arco $ ds $ é dado por:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Vamos agora simplificar a função que vamos integrar, que é $ (z + y)^2 \cdot \sqrt{1 + x^2} $:
Primeiro, substituímos $ z $ e $ y $:
Então,
E,
Passo 6
Agora, nossa integral de linha fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Sabemos que:
Para a segunda parte, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 8
Somando as duas partes:
Resposta
A integral de linha é igual a $ 3\pi $.