Para cada item abaixo $\varphi=\mathrm{g}_{\circ} f$, determine o conjunto de pontos para os quais a função resultante é contínua.
f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{w}=\mathrm{y} \cdot \ln \mathrm{x} e g(w) =\mathrm{e}^{\mathrm{w}}\

Passo 1

O enunciado dá a composição \varphi=\mathrm{g}_{\circ} f com
  • f(\mathrm{x},\mathrm{y})=\mathrm{w}=\mathrm{y}\cdot\ln \mathrm{x};
  • g(\mathrm{w})=\mathrm{e}^{\mathrm{w}}.
O que se pede: determinar o conjunto de pontos (x,y) para os quais a função resultante \varphi(x,y)=g(f(x,y)) é contínua.
Informações-chave fornecidas:
  • A função f envolve \ln x, cujo domínio é restrito por \ln x estar definido apenas para x>0.
  • A função g é g(w)=\mathrm{e}^{w}, definida para todo w\in\mathbb{R}.

Passo 2

Encontrar o domínio onde \varphi está definida.
  • A expressão f(x,y)=y\cdot\ln x só faz sentido quando \ln x existe, isto é, quando x>0. Portanto o domínio de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0\}.
  • A função g(w)=\mathrm{e}^{w} está definida para todo w\in\mathbb{R}.
Como \varphi(x,y)=g(f(x,y)) só pode ser avaliada quando f(x,y) está definido, o domínio de \varphi é o mesmo domínio de f, isto é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0\}.

Passo 3

Lembrando uma propriedade essencial sobre continuidade de composições (explicação didática).
Teorema prático (em palavras simples): se f é contínua num ponto p e g é contínua em f(p), então a composição g\circ f é contínua em p.
Vou explicar por que isso funciona sem jargão pesado:
  • Continuidade em um ponto significa: quando as entradas chegam perto do ponto, as saídas chegam perto do valor da função no ponto.
  • Se f transforma entradas próximas de p em valores próximos de f(p) e g transforma valores próximos de f(p) em valores próximos de g(f(p)), então fazer f e depois g dá uma transformação que leva entradas próximas de p para valores próximos de g(f(p)). É exatamente continuidade de g\circ f.

Passo 4

Verificar continuidade de g e de f em pontos do domínio.
  • A função g(w)=\mathrm{e}^{w} é contínua para todo w\in\mathbb{R}. (Exponencial é uma função contínua e suave em toda a reta.)
  • Agora verificar f(x,y)=y\cdot\ln x.
    • A função x\mapsto\ln x é contínua em todo (0,\infty).
    • A função projeção (x,y)\mapsto y é contínua em todo \mathbb{R}^2.
    • O produto de duas funções contínuas é contínuo (regra básica: limite do produto é produto dos limites quando ambos existem).
    • Assim, f(x,y)=y\cdot\ln x é contínua em todo ponto (a,b) com a>0.
Posso também ilustrar com limite para deixar bem claro (um pouco técnico, mas direto): se (x,y)\to(a,b) com a>0 então \ln x\to\ln a e y\to b, logo
y\ln x \to b\ln a,
portanto f é contínua em (a,b).

Passo 5

Aplicar o teorema da composição.
Como:
  • f é contínua em todo ponto do conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0\};
  • g é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em cada valor f(x,y) quando (x,y) tem x>0;
então, pela propriedade da composição, a função \varphi(x,y)=g(f(x,y))=\mathrm{e}^{\,y\ln x} é contínua em todo ponto do conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0\}.

Passo 6

Observações finais para a prova (o que vale destacar na hora):
  • Não é possível falar de continuidade em pontos com x\le 0 porque a própria função \varphi não está definida aí (por causa de \ln x). Função não definida = não é contínua nesse ponto.
  • A expressão pode ser escrita também como \varphi(x,y)=\mathrm{e}^{y\ln x}=(\mathrm{e}^{\ln x})^{y}=x^{y} quando desejar, mas atenção: a identidade x^{y}= \mathrm{e}^{y\ln x} exige x>0, que é justamente o domínio que encontramos.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0\}

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