Para cada item abaixo $\varphi=\mathrm{g}_{\circ} f$, determine o conjunto de pontos para os quais a função resultante é contínua.
e g(w)
Passo 1
O enunciado dá a composição
com
-
; -
.
O que se pede: determinar o conjunto de pontos
para os quais a função resultante
é contínua.
Informações-chave fornecidas:
- A função
envolve , cujo domínio é restrito por estar definido apenas para . - A função
é , definida para todo .
Passo 2
Encontrar o domínio onde
está definida.
- A expressão
só faz sentido quando existe, isto é, quando . Portanto o domínio de é
- A função
está definida para todo .
Como
só pode ser avaliada quando
está definido, o domínio de
é o mesmo domínio de
, isto é
.
Passo 3
Lembrando uma propriedade essencial sobre continuidade de composições (explicação didática).
Teorema prático (em palavras simples): se
é contínua num ponto
e
é contínua em
, então a composição
é contínua em
.
Vou explicar por que isso funciona sem jargão pesado:
- Continuidade em um ponto significa: quando as entradas chegam perto do ponto, as saídas chegam perto do valor da função no ponto.
- Se
transforma entradas próximas de em valores próximos de e transforma valores próximos de em valores próximos de , então fazer e depois dá uma transformação que leva entradas próximas de para valores próximos de . É exatamente continuidade de .
Passo 4
Verificar continuidade de
e de
em pontos do domínio.
-
A função
é contínua para todo . (Exponencial é uma função contínua e suave em toda a reta.) -
Agora verificar
. - A função
é contínua em todo . - A função projeção
é contínua em todo . - O produto de duas funções contínuas é contínuo (regra básica: limite do produto é produto dos limites quando ambos existem).
- Assim,
é contínua em todo ponto com .
- A função
Posso também ilustrar com limite para deixar bem claro (um pouco técnico, mas direto): se
com
então
e
, logo
portanto
é contínua em
.
Passo 5
Aplicar o teorema da composição.
Como:
-
é contínua em todo ponto do conjunto ; -
é contínua em todo , em particular em cada valor quando tem ;
então, pela propriedade da composição, a função
é contínua em todo ponto do conjunto
.
Passo 6
Observações finais para a prova (o que vale destacar na hora):
- Não é possível falar de continuidade em pontos com
porque a própria função não está definida aí (por causa de ). Função não definida = não é contínua nesse ponto. - A expressão pode ser escrita também como
quando desejar, mas atenção: a identidade exige , que é justamente o domínio que encontramos.