Dada a função
f(x, y)=l1 se x >= 2, 2 se x<2
verifique se ela é contínua em (2,7).

Passo 1

Temos uma função de duas variáveis definida por partes em função de x, e queremos testar continuidade em (2,7). O conteúdo aqui é continuidade de função em R^2 e vamos precisar usar a definição de limite e continuidade nesse contexto.

Passo 2

Uma função f(x,y) é contínua em um ponto (a,b) se e somente se
lim(x,y)to(a,b) f(x,y) = f(a,b)

Passo 3

Primeiro, avaliamos o valor de f(2,7). Como em (2,7) temos x=2>=2,
f(2,7)=1

Passo 4

Agora, estudamos o limite lim(x,y)to(2,7) f(x,y). Note que f depende só de x, então basta olhar aproximando-se de x=2 por x>2 e por x<2:
  • Se x>2, então sempre f(x,y)=1, logo
limxto2^+f(x,y)=1
- Se x<2, então sempre f(x,y)=2, logo
limxto2^-f(x,y)=2

Passo 5

Como as aproximações por x>2 e x<2 dão limites diferentes (1 e 2), o limite lim(x,y)to(2,7) f(x,y) não existe. Portanto não pode ser igual a f(2,7)=1, e a função é descontínua em (2,7).

Resposta

A função não é contínua em (2,7).

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