Se
então
é convergente;
Passo 1
O enunciado diz: se tende a zero quando
, então a sequência
converge. O conteúdo aqui é convergência de sequência e a relação entre o limite das diferenças
e a convergência.
Passo 2
Primeiro lembrar a teoria: se
converge para um limite
, então
e
, logo
. Mas isso é apenas uma condição necessária, não suficiente. Ou seja, ter
não garante que
tenha limite finito.
Passo 3
Para ver que a condição não basta, vamos usar como contraexemplo a sequência dos números harmônicos:
Defina
Então
quando
.
Defina
Então
Passo 4
Porém é clássico que
diverge, pois podemos comparar com a integral
mostrando que
Passo 5
Portanto temos uma sequência cujas diferenças tendem a zero, mas que não converge.
Logo, a afirmação original é falsa.
Logo, a afirmação original é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a sequência harmônica
, pois
mas
diverge.