Se |an+1-an| 0 então (a)n in N é convergente;

Passo 1

O enunciado diz: se tende a zero quando |an+1-an|, então a sequência ntoinfty converge. O conteúdo aqui é convergência de sequência e a relação entre o limite das diferenças (an) e a convergência.

Passo 2

Primeiro lembrar a teoria: se (an) converge para um limite L, então an+1to L e anto L, logo an+1-anto L-L=0. Mas isso é apenas uma condição necessária, não suficiente. Ou seja, ter an+1-anto0 não garante que (an) tenha limite finito.

Passo 3

Para ver que a condição não basta, vamos usar como contraexemplo a sequência dos números harmônicos:
Defina
an=sumk=1^n1k
Então
an+1-an=1n+1to0 quando ntoinfty.

Passo 4

Porém é clássico que an diverge, pois podemos comparar com a integral
integral1^ndxx=ln n,
mostrando que an cresce sem limite (de fato ansimln n+gamma).

Passo 5

Portanto temos uma sequência cujas diferenças tendem a zero, mas que não converge.
Logo, a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a sequência harmônica an=sumk=1^ntfrac1k, pois an+1-an=1/(n+1)to0 mas an diverge.

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