Dada a função
encontre:
B) (Valor 1 ponto) a equação do plano tangente ao gráfico da função
, no ponto
.
B) (Valor 1 ponto) a equação do plano tangente ao gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} $ e precisa achar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto $ P(1, 2, 1) $. Esse exercício está dentro do cálculo multivariável, especificamente lidando com planos tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P(1, 2) $. Primeiro, calculamos $ f(1, 2) $:
Em seguida, as derivadas parciais no ponto $ (1, 2) $:
Passo 4
Com os valores das derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula do plano tangente é:
Substituindo $ a = 1 $, $ b = 2 $, $ f(1, 2) = 1 $, $ f_x(1, 2) = 0 $ e $ f_y(1, 2) = 1 $:
Resposta
A equação do plano tangente é $ z = y - 1 $.