Dada a função f(x, y)=raiz(x-1)^2+(y-1)^2 encontre:
B) (Valor 1 ponto) a equação do plano tangente ao gráfico da função f, no ponto P(1,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} $ e precisa achar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto $ P(1, 2, 1) $. Esse exercício está dentro do cálculo multivariável, especificamente lidando com planos tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P(1, 2) $. Primeiro, calculamos $ f(1, 2) $:
P(1, 2)
Em seguida, as derivadas parciais no ponto $ (1, 2) $:
f(1, 2)
f(1, 2) = raiz(1-1)^2 + (2-1)^2 = raiz0 + 1 = 1

Passo 4

Com os valores das derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula do plano tangente é:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo $ a = 1 $, $ b = 2 $, $ f(1, 2) = 1 $, $ f_x(1, 2) = 0 $ e $ f_y(1, 2) = 1 $:
a = 1

Resposta

A equação do plano tangente é $ z = y - 1 $.

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