1.33 (IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada)
Mostre que o determinante da matriz de rotação em
satisfaz:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz de rotação em
satisfaz
As informações que temos (a definição da matriz de rotação) são:
Portanto a tarefa é calcular o determinante dessa matriz e verificar que o resultado é igual a
.]
Passo 2
Vou usar a fórmula do determinante para matrizes
. Se
então o determinante é dado por
Explicando de forma simples: essa fórmula combina os produtos dos elementos da diagonal principal (
) e da diagonal secundária (
) para medir, geometricamente, o fator de escala da área quando a transformação linear representada por
age sobre o plano.]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso
. Identificando os elementos:
Substituindo em
temos:
Passo 4
Calculemos os termos separadamente:
Logo
Passo 5
Usamos a identidade trigonométrica básica obtida a partir do círculo trigonométrico (teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo de raio unitário):
Portanto, substituindo na expressão anterior, obtemos o valor final do determinante.