1.33 (IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada)

Mostre que o determinante da matriz de rotação em R^{2} satisfaz:
\operatorname{det}(R(\theta))=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz de rotação em \mathbb{R}^2 satisfaz
\operatorname{det}(R(\theta))=1.
As informações que temos (a definição da matriz de rotação) são:
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Portanto a tarefa é calcular o determinante dessa matriz e verificar que o resultado é igual a 1.]

Passo 2

Vou usar a fórmula do determinante para matrizes 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det(A)=ad-bc.
Explicando de forma simples: essa fórmula combina os produtos dos elementos da diagonal principal ( ad) e da diagonal secundária ( bc) para medir, geometricamente, o fator de escala da área quando a transformação linear representada por A age sobre o plano.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso R(\theta). Identificando os elementos:
a=\cos\theta,\quad b=-\sin\theta,\quad c=\sin\theta,\quad d=\cos\theta.
Substituindo em \det(A)=ad-bc temos:
\det(R(\theta))=(\cos\theta)(\cos\theta)-(-\sin\theta)(\sin\theta).

Passo 4

Calculemos os termos separadamente:
(\cos\theta)(\cos\theta)=\cos^2\theta, \qquad (-\sin\theta)(\sin\theta)=-\sin^2\theta.
Logo
\det(R(\theta))=\cos^2\theta-(-\sin^2\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta.

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica básica obtida a partir do círculo trigonométrico (teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo de raio unitário):
\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.
Portanto, substituindo na expressão anterior, obtemos o valor final do determinante.

Resposta

\operatorname{det}(R(\theta))=1

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