Dada a funçāo:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
Calcule:
\frac{\partial f}{\partial y \partial x}(-6,-8)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} da função
f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}
no ponto (-6,-8). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de ordem superior.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada parcial de f em relação a x. Como
f(x,y)=(x^2+y^2)^{1/2},
usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{(x^2+y^2)^{1/2}} em relação a y. Aqui x é constante e aplicamos novamente a regra da cadeia:
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[x\,(x^2+y^2)^{-1/2}\Bigr] =x\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot2y =-\frac{x\,y}{(x^2+y^2)^{3/2}}.

Passo 4

Para (x,y)=(-6,-8) temos
-\frac{x\,y}{(x^2+y^2)^{3/2}} =-\frac{(-6)\,(-8)}{\bigl((-6)^2+(-8)^2\bigr)^{3/2}} =-\frac{48}{(36+64)^{3/2}} =-\frac{48}{100^{3/2}} =-\frac{48}{1000} =-\frac{6}{125}.

Resposta

-\tfrac{6}{125}

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