Nos problemas 3 e 4 verificar se as funções dadas constituem solução da equação diferencial.
3-y^{\prime \prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime \prime}+3 y=x, y_{1}(x)=\frac{x}{3} y_{2}(x)=e^{-x}+\frac{x}{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'''' + 4y''' + 3y = x
e pede para verificar se as funções \displaystyle y_{1}(x)=\frac{x}{3} e \displaystyle y_{2}(x)=e^{-x}+\frac{x}{3}
são soluções. Para isso vamos calcular as derivadas até a quarta ordem de cada função e substituir na equação.

Passo 2

Para \displaystyle y_{1}(x)=\frac{x}{3} temos
y_{1}'=\frac{1}{3},\quad y_{1}''=0,\quad y_{1}'''=0,\quad y_{1}''''=0.
Substituindo na EDO:
y_{1}''''+4y_{1}'''+3y_{1} =0+0+3\cdot\frac{x}{3} =x,
que coincide com o termo à direita. Logo, y_{1} é solução.

Passo 3

Para \displaystyle y_{2}(x)=e^{-x}+\frac{x}{3} calculamos
y_{2}'=-e^{-x}+\frac{1}{3},\quad y_{2}''=e^{-x},\quad y_{2}'''=-e^{-x},\quad y_{2}''''=e^{-x}.
Substituindo na EDO:
y_{2}''''+4y_{2}'''+3y_{2} =e^{-x}+4(-e^{-x})+3\Bigl(e^{-x}+\frac{x}{3}\Bigr) =e^{-x}-4e^{-x}+3e^{-x}+x =x.
Portanto, y_{2} também satisfaz a equação.

Resposta

Ambas as funções y_{1} e y_{2} são soluções da equação diferencial.

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