Dada a funçāo:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
Calcule:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,-2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}
e pede a segunda derivada parcial em relação a y no ponto (0,-2). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem, usando a regra do quociente e a derivada de raízes.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial de primeira ordem em relação a y. Como
f(x,y) = (x^2+y^2)^{1/2},
pela regra da cadeia e a derivada de potência obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} em relação a y. Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\sqrt{x^2+y^2} \cdot 1 - y \cdot \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)^2} = \frac{x^2}{\bigl(x^2+y^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

Basta avaliar em (x,y)=(0,-2). Nesse ponto temos x^2=0 e x^2+y^2=4, logo
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,-2) = \frac{0}{4^{3/2}} = 0.

Resposta

0

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