Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
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Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral para decidir se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo é o teste da integral, que exige definir uma função
correspondente aos termos gerais, verificar que ela é positiva, contínua e decrescente a partir de algum ponto, e então estudar
.
Passo 2
Definimos a função de apoio para
(para garantir positividade):
Note que para
temos
,
, e em breve veremos que
é decrescente.
Passo 3
Para integrar
, fazemos a decomposição em frações parciais. Observamos:
logo
Passo 4
Agora integramos de 5 até
:
Calculando cada parte temos
Portanto
Passo 5
Ao deixar
, o termo
. Isso mostra que
ou seja, a integral diverge. Pelo teste da integral, a série também diverge.
Resposta
A série diverge.