Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
© sumn=2^infty n-4n^2-2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral para decidir se a série sumn=2^infty n-4n^2-2n+1 é convergente ou divergente. O conteúdo é o teste da integral, que exige definir uma função f(x) correspondente aos termos gerais, verificar que ela é positiva, contínua e decrescente a partir de algum ponto, e então estudar integral f(x),dx.

Passo 2

Definimos a função de apoio para x>=5 (para garantir positividade):
f(x)=x-4(x-1)^2
Note que para x>=5 temos x-4>0, (x-1)^2>0, e em breve veremos que f(x) é decrescente.

Passo 3

Para integrar f(x), fazemos a decomposição em frações parciais. Observamos:
x-4=(x-1)-3
logo
x-4(x-1)^2=x-1(x-1)^2-3(x-1)^2=1x-1-3(x-1)^-2

Passo 4

Agora integramos de 5 até N>5:
integral5^N f(x),dx=integral5^N1x-1,dx-3integral5^N(x-1)^-2,dx
Calculando cada parte temos
integral1x-1,dx=ln|x-1|,
integral(x-1)^-2,dx=-(x-1)^-1
Portanto
integral5^N f(x),dx=[ln(x-1)+3/(x-1)]5^N=ln(N-1)+3N-1-l(ln4+tfrac34r)

Passo 5

Ao deixar Ntoinfty, o termo ln(N-1)toinfty. Isso mostra que
integral5^inftyf(x),dx=infty,
ou seja, a integral diverge. Pelo teste da integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados