Dada a função f(x, y)=x cos y e o ponto (2, pi4), encontre a direção em que f cresce mais rapidamente.

Passo 1

O enunciado pede a direção de crescimento mais rápido de f(x,y)=x cos y no ponto (2,π/4), sabendo que isso é dado pelo gradiente de f nesse ponto e, normalmente, tomamos o vetor unitário na direção do gradiente.

Passo 2

Vamos computar as derivadas parciais. A definição de gradiente é ∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y). Para f(x,y)=x cos y temos ∂f/∂x=cos y e ∂f/∂y=−x sin y.

Passo 3

Agora avaliamos no ponto (2,π/4): cos(π/4)=√2/2 e sin(π/4)=√2/2. Logo ∂f/∂x(2,π/4)=√2/2 e ∂f/∂y(2,π/4)=−2·(√2/2)=−√2. Então o gradiente é (√2/2,−√2).

Passo 4

Para obter a direção (vetor unitário) normalizamos ∇f: seu módulo é √[(√2/2)²+(−√2)²]=√(1/2+2)=√(5/2)=√5/√2. Dividindo cada componente por √5/√2 resulta em (1/√5,−2/√5).

Resposta

O vetor unitário na direção de máximo crescimento em (2,π/4) é l(tfrac1raiz5,-tfrac2raiz5r).

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