Dada a função
e o ponto
, encontre a direção em que
cresce mais rapidamente.
Passo 1
O enunciado pede a direção de crescimento mais rápido de f(x,y)=x cos y no ponto (2,π/4), sabendo que isso é dado pelo gradiente de f nesse ponto e, normalmente, tomamos o vetor unitário na direção do gradiente.
Passo 2
Vamos computar as derivadas parciais. A definição de gradiente é ∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y). Para f(x,y)=x cos y temos ∂f/∂x=cos y e ∂f/∂y=−x sin y.
Passo 3
Agora avaliamos no ponto (2,π/4): cos(π/4)=√2/2 e sin(π/4)=√2/2. Logo ∂f/∂x(2,π/4)=√2/2 e ∂f/∂y(2,π/4)=−2·(√2/2)=−√2. Então o gradiente é (√2/2,−√2).
Passo 4
Para obter a direção (vetor unitário) normalizamos ∇f: seu módulo é √[(√2/2)²+(−√2)²]=√(1/2+2)=√(5/2)=√5/√2. Dividindo cada componente por √5/√2 resulta em (1/√5,−2/√5).
Resposta
O vetor unitário na direção de máximo crescimento em (2,π/4) é
.