Determine a taxa de variação de:
f(x, y)=x^3 y^2 no ponto (1,-2) na direção do vetor v=(4,-3).

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação direcional da função f(x,y)=x^3y^2 no ponto (1,-2) ao longo da direção do vetor vec v=(4,-3). O conteúdo aqui é derivada direcional: precisamos do gradiente de f e do vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Para achar o gradiente de f, lembramos que
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)
Como f(x,y)=x^3y^2, temos
partial fpartial x=3x^2y^2,
partial fpartial y=2x^3y
No ponto (1,-2) isso vira
nabla f(1,-2)=(3cdot1^2cdot(-2)^2,,2cdot1^3cdot(-2))=(12,-4)

Passo 3

Agora precisamos do vetor unitário na direção de vec v=(4,-3). Primeiro o módulo:
|vec v|=raiz4^2+(-3)^2=5
Logo o vetor unitário é
vec u=15(4,-3)=l(45,-35r)

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Dvec uf(1,-2)=nabla f(1,-2)cdotvec u=(12,-4)cdotl(45,-35r)
Calculando:
15(12cdot4+(-4)cdot(-3))=15(48+12)=605=12

Resposta

12

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