Resolve o seguinte problema: y^prime=(2 x+3)(y^2-4), y(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y'=(2x+3)(y^2-4) com a condição inicial y(0)=-1. O conteúdo é separação de variáveis, integrando ambos os lados.

Passo 2

Separemos variáveis escrevendo
dyy^2-4=(2x+3),dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Sabemos que
1y^2-4=1(y-2)(y+2)=14l(1y-2-1y+2r)

Passo 4

Integrando cada lado:
integraldyy^2-4=14integrall(1y-2-1y+2r)dy =14l(ln|y-2|-ln|y+2|r)+C1
e
integral(2x+3),dx=x^2+3x+C2

Passo 5

Igualando e juntando constantes em C:
14l(ln|y-2|-ln|y+2|r)=x^2+3x+C

Passo 6

Multiplicando por 4 e combinando logaritmos:
lny-2y+2=4x^2+12x+K

Passo 7

Aplicamos x=0,;y=-1 para achar K:
ln-1-2-1+2=ln(-3)=K

Passo 8

Assim y-2y+2= -3e^4x^2+12x. Agora isolamos y:
$$
y-2=-3e{4x2+12x}(y+2)$$
$$
y+3e{4x2+12x}y=2-6e{4x2+12x}$$
$$
y(1+3e{4x2+12x})=2-6e{4x2+12x}$$

Resposta

y(x)=2-6e^4x^2+12x1+3e^4x^2+12x

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