Encontre a direção na qual f(x, y)=x^22+y^22
tem variação zero no ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a direção em que a derivada direcional de f(x,y)=tfracx^22+tfracy^22 em (2,2) seja zero. O conteúdo envolve derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Para achar direções de variação zero, precisamos usar que a derivada direcional em direção unitária u=(u1,u2) é dada por Duf(2,2)=nabla f(2,2)cdotu. Então devemos primeiro calcular o gradiente.

Passo 3

O gradiente de f é nabla f(x,y)=(x,y). Em (2,2) temos
nabla f(2,2)=(2,2)

Passo 4

A condição para variação zero é
nabla f(2,2)cdot(u1,u2)=2u1+2u2=0
Daí obtemos
u1+u2=0 Longrightarrow u2=-u1

Passo 5

Como u deve ser unitário, impomos
u1^2+u2^2=1 Longrightarrow u1^2+(-u1)^2=1 Rightarrow 2u1^2=1 Rightarrow u1=pmtfrac1raiz2
Logo as direções unitárias são
u=l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)
ou o sentido oposto
u=l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Resposta

As direções de variação zero em (2,2) são dadas pelos vetores unitários (1/\u221A2, -1/\u221A2) e seu oposto (-1/\u221A2, 1/\u221A2).

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