Dada a função
e U é o vetor unitário na direção
, determine a derivada direcional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma função $ f(x, y) = 3x^{2} - y^{2} + 4x $ e quer descobrir a derivada direcional dessa função na direção de um vetor unitário $ U $ que faz um ângulo de $ \frac{\pi}{6} $ com o eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função e como ele se relaciona com a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função $ f(x, y) $ na direção de um vetor específico. Para calcular isso, usamos o gradiente da função, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é dado por:
Então, vamos derivar $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
Portanto, o gradiente de $ f $ é:
Passo 4
Agora, precisamos definir o vetor unitário $ U $ na direção de $ \frac{\pi}{6} $. Um vetor unitário na direção de um ângulo $ \theta $ é dado por:
Substituindo $ \theta = \frac{\pi}{6} $:
Sabemos que:
Então,
Passo 5
A derivada direcional de $ f $ na direção do vetor $ U $ é calculada pelo produto escalar do gradiente de $ f $ com $ U $:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional da função $ f(x, y) = 3x^{2} - y^{2} + 4x $ na direção do vetor unitário $ U $ que faz um ângulo de $ \frac{\pi}{6} $ é: