Dada a função f(x, y)=3 x^2-y^2+4 x e U é o vetor unitário na direção pi6, determine a derivada direcional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma função $ f(x, y) = 3x^{2} - y^{2} + 4x $ e quer descobrir a derivada direcional dessa função na direção de um vetor unitário $ U $ que faz um ângulo de $ \frac{\pi}{6} $ com o eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função e como ele se relaciona com a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos diz a taxa de variação da função $ f(x, y) $ na direção de um vetor específico. Para calcular isso, usamos o gradiente da função, que é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função.

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é dado por:
f(x, y)
Então, vamos derivar $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
f
Portanto, o gradiente de $ f $ é:
x

Passo 4

Agora, precisamos definir o vetor unitário $ U $ na direção de $ \frac{\pi}{6} $. Um vetor unitário na direção de um ângulo $ \theta $ é dado por:
U
Substituindo $ \theta = \frac{\pi}{6} $:
pi6
Sabemos que:
theta
U = ( costheta, sintheta )
Então,
theta = pi6

Passo 5

A derivada direcional de $ f $ na direção do vetor $ U $ é calculada pelo produto escalar do gradiente de $ f $ com $ U $:
f
Substituindo os valores que encontramos:
U

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:
DUf = (6x + 4) cdot raiz32 + (-2y) cdot 12
Simplificando:
DUf = raiz32 cdot 6x + raiz32 cdot 4 + (-2y cdot 12)
DUf = 3raiz3x + 2raiz3 - y

Resposta

A derivada direcional da função $ f(x, y) = 3x^{2} - y^{2} + 4x $ na direção do vetor unitário $ U $ que faz um ângulo de $ \frac{\pi}{6} $ é:
f(x, y) = 3x^2 - y^2 + 4x

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