Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=0^infty(arctg n)^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=0^infty(arctgn)^n usando o Teste da Raiz. Isso envolve calcular o limite da n-ésima raiz do termo geral e comparar com 1.

Passo 2

Pelo Teste da Raiz, definimos an=(arctgn)^n e calculamos
L=limntoinftyraiz[n]|an| Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculamos a n-ésima raiz:
raiz[n]|an|=raiz[n](arctgn)^n=arctgn Agora avaliamos o limite:
limntoinftyarctgn=pi2>1

Passo 4

Como L=pi2>1, o Teste da Raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Raiz, pois o limite da n-ésima raiz é pi/2>1.

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