Dada a função
ache a taxa de variação em (1, -2, -1) na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de três variáveis:
E o que nos pedem é para encontrar a taxa de variação dessa função no ponto
na direção do vetor $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k} $.
Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que nos diz como a função muda em uma direção específica. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo $ x = 1 $, $ y = -2 $ e $ z = -1 $ nas derivadas parciais:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Agora, precisamos trabalhar com o vetor direção $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k} $. Para calcular a derivada direcional, é importante que esse vetor seja um vetor unitário (ou seja, tenha magnitude 1).
Vamos calcular a magnitude de $ \mathbf{v} $:
Então, o vetor unitário na direção de $ \mathbf{v} $ é:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Onde $ \cdot $ representa o produto escalar entre os vetores. Já temos:
Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação da função $ f $ no ponto
na direção do vetor
é: