Dada a função f(x, y, z)=3 x^2+x y-2 y-y z+z^2 ache a taxa de variação em (1, -2, -1) na direção do vetor 2 i-2 j-k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de três variáveis:
f(x, y, z) = 3x^2 + xy - 2y - yz + z^2
E o que nos pedem é para encontrar a taxa de variação dessa função no ponto (1, -2, -1) na direção do vetor $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k} $.
Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que nos diz como a função muda em uma direção específica. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja:
f
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
x
  • Derivada parcial em relação a $ z $:
partial fpartial x = 6x + y
Então, o gradiente é:
y

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1, -2, -1). Substituindo $ x = 1 $, $ y = -2 $ e $ z = -1 $ nas derivadas parciais:
  • Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
x = 1
  • Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
y = -2
  • Para $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
z = -1
Então, o gradiente no ponto partial fpartial x é:
6(1) + (-2) = 6 - 2 = 4

Passo 4

Agora, precisamos trabalhar com o vetor direção $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - \mathbf{k} $. Para calcular a derivada direcional, é importante que esse vetor seja um vetor unitário (ou seja, tenha magnitude 1).
Vamos calcular a magnitude de $ \mathbf{v} $:
v = 2i - 2j - k
Então, o vetor unitário na direção de $ \mathbf{v} $ é:
v

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Duf = nabla f cdot u
Onde $ \cdot $ representa o produto escalar entre os vetores. Já temos:
cdot
nabla f(1, -2, -1) = (4, , 0, , 0)
Vamos calcular o produto escalar:
u = ( 23, , -23, , -13 )

Resposta

A taxa de variação da função $ f $ no ponto f na direção do vetor (1, -2, -1) é:
2i - 2j - k

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