Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
integral duplaD(x^2+2 y) d A, com D limitada por y=x, y=x^3, x >= 0

Passo 1

Resumo: Vamos avaliar a integral integral duplaD(x^2+2y),dA, onde D é a região limitada por y=x^3, y=x e x>=0. O conteúdo envolve integrais duplas e troca de ordem de integração.

Passo 2

Definimos as integrais iteradas em ambas as ordens de integração. Em ordem dy,dx:
integralx=0^1!gl(integraly=x^3^x(x^2+2y),dygr)dx
Em ordem dx,dy:
integraly=0^1!gl(integralx=y^y^1/3(x^2+2y),dxgr)dy

Passo 3

Escolhi a ordem dy,dx por ter limites polinomiais simples em y. Calculando a integral interna:
integraly=x^3^x(x^2+2y),dy = x^2l[yr]x^3^x + 2l[tfracy^22r]x^3^x = x^2(x - x^3) + (x^2 - x^6) = x^2 + x^3 - x^5 - x^6
Agora, a integral externa:
integral0^1(x^2 + x^3 - x^5 - x^6),dx = l[tfracx^33 + tfracx^44 - tfracx^66 - tfracx^77r]0^1 = tfrac13 + tfrac14 - tfrac16 - tfrac17 = tfrac2384

Passo 4

Essa ordem é mais fácil porque os limites em y são funções polinomiais de x, gerando primitivas polinomiais diretas. Na ordem dx,dy teríamos limites com raiz cúbica ( y^1/3), o que complica a antiderivação.

Resposta

2384

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