Dada a função f(x, y)=e^{x y} \cos (2 x-y), usando a regra da cadeia, determine:
\frac{\partial f}{\partial t}, se x(t)=3 t^{2}-1 e y(t)=2 t+1

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=e^{xy}\cos(2x-y)
e as relações entre x, y e t:
x(t)=3t^{2}-1,\qquad y(t)=2t+1.
O que o exercício pede é a derivada de f em relação a t ao seguir a curva (x(t),y(t)); ou seja, calcular
\frac{\partial f}{\partial t}
avaliada em x=x(t) e y=y(t).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • As funções x(t) e y(t).
  • Vamos precisar de \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} para aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Explicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis (aula rápida, passo a passo).
  • Quando f=f(x,y) e x e y dependem de t, a derivada total de f em relação a t é dada pela regra da cadeia:
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} significa a derivada parcial de f em relação a x, mantendo y fixo; e \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y, mantendo x fixo. Em palavras: variar t muda x e y, e essas mudanças combinadas dão a variação total de f.
Agora vamos calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Como f é produto de e^{xy} por \cos(2x-y), usa-se a regra do produto em cada derivada parcial.
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Primeiro, derive e^{xy} em relação a x, tratando y como constante: \dfrac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy} porque a derivada de e^{u} é e^{u}u' e u=xy tem u'_x=y.
  • Segundo, derive \cos(2x-y) em relação a x: \dfrac{\partial}{\partial x}\cos(2x-y)=-\sin(2x-y)\cdot 2 (regra da cadeia porque a função dentro é 2x-y e sua derivada em x é 2).
    Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x} = \big(y e^{xy}\big)\cos(2x-y) + e^{xy}\big(-2\sin(2x-y)\big).
Fatorando e^{xy}:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{xy}\big(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\big).
Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy} (agora x é tratado como constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\cos(2x-y)=-\sin(2x-y)\cdot(-1)=\sin(2x-y) (a derivada de 2x-y em relação a y é -1, multiplicando o - externo dá +).
    Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y} = \big(x e^{xy}\big)\cos(2x-y) + e^{xy}\big(\sin(2x-y)\big).
Fatorando e^{xy}:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{xy}\big(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\big).

Passo 3

Agora calcule \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das expressões de x(t) e y(t):
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(3t^{2}-1)=6t, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(2t+1)=2.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo as fórmulas das parciais:
\frac{df}{dt} = e^{xy}\big(y\cos(2x-y)-2\sin(2x-y)\big)\cdot 6t + e^{xy}\big(x\cos(2x-y)+\sin(2x-y)\big)\cdot 2.
Fatorando e^{xy} e juntando termos (colocando x e y como dependentes de t implicitamente):
\frac{df}{dt} = e^{xy}\Big[(6t\,y+2x)\cos(2x-y)+(-12t+2)\sin(2x-y)\Big].

Passo 4

Agora substituímos explicitamente x(t) e y(t) para obter a expressão em função de t. Primeiro calculemos xy e 2x-y:
xy=(3t^{2}-1)(2t+1)=6t^{3}+3t^{2}-2t-1,
2x-y=2(3t^{2}-1)-(2t+1)=6t^{2}-2t-3.
Também calculemos os coeficientes:
6t\,y+2x=6t(2t+1)+2(3t^{2}-1)=12t^{2}+6t+6t^{2}-2=18t^{2}+6t-2,
-12t+2=2(1-6t).
Substituindo tudo:
\frac{df}{dt} = e^{6t^{3}+3t^{2}-2t-1}\Big[(18t^{2}+6t-2)\cos(6t^{2}-2t-3)+( -12t+2)\sin(6t^{2}-2t-3)\Big].
Podemos factorar 2 para deixar mais compacto:
\frac{df}{dt} =2\,e^{6t^{3}+3t^{2}-2t-1}\Big[(9t^{2}+3t-1)\cos(6t^{2}-2t-3)+(1-6t)\sin(6t^{2}-2t-3)\Big].

Resposta

\displaystyle \frac{df}{dt}=2\,e^{6t^{3}+3t^{2}-2t-1}\Big[(9t^{2}+3t-1)\cos(6t^{2}-2t-3)+(1-6t)\sin(6t^{2}-2t-3)\Big]

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