Dada a função
, usando a regra da cadeia, determine:
, se
e
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e as relações entre
,
e
:
O que o exercício pede é a derivada de
em relação a
ao seguir a curva
; ou seja, calcular
avaliada em
e
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita de
. - As funções
e . - Vamos precisar de
e para aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Explicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis (aula rápida, passo a passo).
- Quando
e e dependem de , a derivada total de em relação a é dada pela regra da cadeia:
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
fixo; e
é a derivada parcial em relação a
, mantendo
fixo. Em palavras: variar
muda
e
, e essas mudanças combinadas dão a variação total de
.
Agora vamos calcular as derivadas parciais
e
. Como
é produto de
por
, usa-se a regra do produto em cada derivada parcial.
Cálculo de
:
- Primeiro, derive
em relação a , tratando como constante: porque a derivada de é e tem . - Segundo, derive
em relação a : (regra da cadeia porque a função dentro é e sua derivada em é ).
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Cálculo de
:
-
(agora é tratado como constante). -
(a derivada de em relação a é , multiplicando o externo dá ).
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 3
Agora calcule
e
a partir das expressões de
e
:
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo as fórmulas das parciais:
Fatorando
e juntando termos (colocando
e
como dependentes de
implicitamente):
Passo 4
Agora substituímos explicitamente
e
para obter a expressão em função de
. Primeiro calculemos
e
:
Também calculemos os coeficientes:
Substituindo tudo:
Podemos factorar
para deixar mais compacto: