Usando a regra da cadeia apropriada, calcule as seguintes derivadas:
para
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular
quando
Ou seja: encontrar a derivada temporal de
sabendo que
e
dependem de
. Essas são todas as informações dadas.
Passo 2
Uma observação útil que facilita a diferenciação é a identidade dos logaritmos:
Reescrevo
usando isso:
Isso evita aplicar a regra da cadeia diretamente sobre uma razão dentro do log; em vez disso, uso a regra do log para subtrair dois termos simples.
Passo 3
Regra de diferenciação usada (pequena aula): a derivada de
em relação a
é dada por
ou seja, derivar o interior
e dividir pelo próprio
. Aplicando isso a
tenho:
onde
e
.
Passo 4
Agora calculo as derivadas de
e
(outra mini-aula):
- A derivada de
é : . - A derivada de
é : .
Como
e
, segue:
Passo 5
Substituo
,
,
e
na expressão da derivada:
Simplificando o sinal:
Essa forma já é correta e pode ser escrita como
, pois
e
.
Passo 6
Posso simplificar ainda mais somando as frações com denominador comum
:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, obtenho
Também é possível escrever a resposta equivalendo a outras formas conhecidas:
Todas essas expressões são equivalentes; a escolha depende do que for mais conveniente na prova.
Passo 7
Resumo final do procedimento (rápido): transformei
usando log de razão em diferença de logs, apliquei a regra
, calculei
e
, substituí e simplifiquei usando identidades trigonométricas.