Usando a regra da cadeia apropriada, calcule as seguintes derivadas:
\frac{d z}{d t} para z=\ln \left(\frac{y}{x}\right), \operatorname{com} x=\cos (t) e y=\operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d z}{d t} quando
z=\ln\!\left(\frac{y}{x}\right), \qquad x=\cos(t), \qquad y=\sin(t).
Ou seja: encontrar a derivada temporal de z sabendo que x e y dependem de t. Essas são todas as informações dadas.

Passo 2

Uma observação útil que facilita a diferenciação é a identidade dos logaritmos:
\ln\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln(y)-\ln(x).
Reescrevo z usando isso:
z=\ln(y)-\ln(x).
Isso evita aplicar a regra da cadeia diretamente sobre uma razão dentro do log; em vez disso, uso a regra do log para subtrair dois termos simples.

Passo 3

Regra de diferenciação usada (pequena aula): a derivada de \ln(u(t)) em relação a t é dada por
\frac{d}{dt}\ln(u(t))=\frac{u'(t)}{u(t)},
ou seja, derivar o interior u(t) e dividir pelo próprio u(t). Aplicando isso a z=\ln(y)-\ln(x) tenho:
\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\ln(y)-\frac{d}{dt}\ln(x)=\frac{y'}{y}-\frac{x'}{x},
onde x'=\dfrac{dx}{dt} e y'=\dfrac{dy}{dt}.

Passo 4

Agora calculo as derivadas de x e y (outra mini-aula):
  • A derivada de \sin(t) é \cos(t): \dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
  • A derivada de \cos(t) é -\sin(t): \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t).
Como y=\sin(t) e x=\cos(t), segue:
y'=\cos(t),\qquad x'=-\sin(t).

Passo 5

Substituo y', x', y e x na expressão da derivada:
\frac{dz}{dt}=\frac{y'}{y}-\frac{x'}{x}=\frac{\cos(t)}{\sin(t)}-\frac{-\sin(t)}{\cos(t)}.
Simplificando o sinal:
\frac{dz}{dt}=\frac{\cos(t)}{\sin(t)}+\frac{\sin(t)}{\cos(t)}.
Essa forma já é correta e pode ser escrita como \cot(t)+\tan(t), pois \cot(t)=\dfrac{\cos t}{\sin t} e \tan(t)=\dfrac{\sin t}{\cos t}.

Passo 6

Posso simplificar ainda mais somando as frações com denominador comum \sin(t)\cos(t):
\frac{dz}{dt}=\frac{\cos^2(t)+\sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)}.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^2(t)+\cos^2(t)=1, obtenho
\frac{dz}{dt}=\frac{1}{\sin(t)\cos(t)}.
Também é possível escrever a resposta equivalendo a outras formas conhecidas:
\frac{dz}{dt}=\cot(t)+\tan(t)=\frac{1}{\sin(t)\cos(t)}=\operatorname{sec}(t)\csc(t)=\frac{2}{\sin(2t)}.
Todas essas expressões são equivalentes; a escolha depende do que for mais conveniente na prova.

Passo 7

Resumo final do procedimento (rápido): transformei z usando log de razão em diferença de logs, apliquei a regra \dfrac{d}{dt}\ln(u)=u'/u, calculei x' e y', substituí e simplifiquei usando identidades trigonométricas.

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{1}{\sin(t)\cos(t)}

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